Theorem xpmlem 4744

Description: The cross product of inhabited classes is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpmlem	|- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) <-> E. z z e. ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem xpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eeanv 1807	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) )
2		vex 2560	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2560	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opex 3966	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
5		eleq1 2100	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( A X. B ) <-> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
6		opelxp 4374	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
7	5, 6	syl6bb 185	. . . . 5 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
8	4, 7	spcev 2647	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
9	8	exlimivv 1776	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
10	1, 9	sylbir 125	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
11		elxp 4362	. . . . 5 |- ( z e. ( A X. B ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
12		simpr 103	. . . . . 6 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
13	12	2eximi 1492	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
14	11, 13	sylbi 114	. . . 4 |- ( z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
15	14	exlimiv 1489	. . 3 |- ( E. z z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
16	15, 1	sylib 127	. 2 |- ( E. z z e. ( A X. B ) -> ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) )
17	10, 16	impbii 117	1 |- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) <-> E. z z e. ( A X. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   <.cop 3378   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351

This theorem is referenced by:  xpm  4745