Theorem xpiundir 4399

Description: Distributive law for cross product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpiundir	|- ( U_ x e. A B X. C ) = U_ x e. A ( B X. C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem xpiundir

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2577	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
2		df-rex 2312	. . . . . 6 |- ( E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
3	2	rexbii 2331	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. x e. A E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
4		eliun 3661	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5	4	anbi1i 431	. . . . . . 7 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
6		r19.41v 2466	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
7	5, 6	bitr4i 176	. . . . . 6 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
8	7	exbii 1496	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
9	1, 3, 8	3bitr4ri 202	. . . 4 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
10		df-rex 2312	. . . 4 |- ( E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
11		elxp2 4363	. . . . 5 |- ( z e. ( B X. C ) <-> E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
12	11	rexbii 2331	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ( B X. C ) <-> E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
13	9, 10, 12	3bitr4i 201	. . 3 |- ( E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. x e. A z e. ( B X. C ) )
14		elxp2 4363	. . 3 |- ( z e. ( U_ x e. A B X. C ) <-> E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. )
15		eliun 3661	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( B X. C ) <-> E. x e. A z e. ( B X. C ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 201	. 2 |- ( z e. ( U_ x e. A B X. C ) <-> z e. U_ x e. A ( B X. C ) )
17	16	eqriv 2037	1 |- ( U_ x e. A B X. C ) = U_ x e. A ( B X. C )

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   E.wrex 2307   <.cop 3378   U_ciun 3657   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-iun 3659  df-opab 3819  df-xp 4351

This theorem is referenced by:  iunxpconst  4400  resiun2  4631