Theorem xpiindim 4473

Description: Distributive law for cross product over indexed intersection. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpiindim	|- ( E. y y e. A -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, C, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem xpiindim

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4447	. . . . . 6 |- Rel ( C X. B )
2	1	rgenw 2376	. . . . 5 |- A. x e. A Rel ( C X. B )
3		eleq1 2100	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
4	3	cbvexv 1795	. . . . . 6 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
5		r19.2m 3309	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A Rel ( C X. B ) ) -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
6	4, 5	sylanbr 269	. . . . 5 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A Rel ( C X. B ) ) -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
7	2, 6	mpan2 401	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
8		reliin 4459	. . . 4 |- ( E. x e. A Rel ( C X. B ) -> Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( E. y y e. A -> Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) )
10		relxp 4447	. . 3 |- Rel ( C X. |^|_ x e. A B )
11	9, 10	jctil 295	. 2 |- ( E. y y e. A -> ( Rel ( C X. |^|_ x e. A B ) /\ Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) ) )
12		r19.28mv 3314	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) ) )
13	4, 12	sylbir 125	. . . . . 6 |- ( E. y y e. A -> ( A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) ) )
14	13	bicomd 129	. . . . 5 |- ( E. y y e. A -> ( ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) <-> A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) ) )
15		vex 2560	. . . . . . 7 |- z e. _V
16		eliin 3662	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( z e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A z e. B ) )
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( z e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A z e. B )
18	17	anbi2i 430	. . . . 5 |- ( ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) )
19		opelxp 4374	. . . . . 6 |- ( <. w , z >. e. ( C X. B ) <-> ( w e. C /\ z e. B ) )
20	19	ralbii 2330	. . . . 5 |- ( A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) <-> A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) )
21	14, 18, 20	3bitr4g 212	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> ( ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) ) )
22		opelxp 4374	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. ( C X. |^|_ x e. A B ) <-> ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) )
23		vex 2560	. . . . . 6 |- w e. _V
24	23, 15	opex 3966	. . . . 5 |- <. w , z >. e. _V
25		eliin 3662	. . . . 5 |- ( <. w , z >. e. _V -> ( <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) ) )
26	24, 25	ax-mp 7	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) )
27	21, 22, 26	3bitr4g 212	. . 3 |- ( E. y y e. A -> ( <. w , z >. e. ( C X. |^|_ x e. A B ) <-> <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) ) )
28	27	eqrelrdv2 4439	. 2 |- ( ( ( Rel ( C X. |^|_ x e. A B ) /\ Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) ) /\ E. y y e. A ) -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )
29	11, 28	mpancom 399	1 |- ( E. y y e. A -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   <.cop 3378   |^|_ciin 3658   X. cxp 4343   Rel wrel 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-iin 3660  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352

This theorem is referenced by:  xpriindim  4474