ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xlt0neg2 Unicode version

Theorem xlt0neg2 8752
Description: Extended real version of lt0neg2 7464. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlt0neg2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <  A  <->  -e A  <  0 ) )

Proof of Theorem xlt0neg2
StepHypRef Expression
1 0xr 7072 . . 3  |-  0  e.  RR*
2 xltneg 8749 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
0  <  A  <->  -e A  <  -e 0 ) )
31, 2mpan 400 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <  A  <->  -e A  <  -e 0 ) )
4 xneg0 8744 . . 3  |-  -e 0  =  0
54breq2i 3772 . 2  |-  (  -e A  <  -e 0  <->  -e A  <  0 )
63, 5syl6bb 185 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <  A  <->  -e A  <  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 98    e. wcel 1393   class class class wbr 3764   0cc0 6889   RR*cxr 7059    < clt 7060    -ecxne 8686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-sub 7184  df-neg 7185  df-xneg 8689
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator