ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzsplit Unicode version

Theorem uzsplit 8952
Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 8953) union of the first  N values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzsplit  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  M )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  N ) ) )

Proof of Theorem uzsplit
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 8480 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
2 eluzelz 8480 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
3 zlelttric 8288 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  \/  k  <  N ) )
41, 2, 3syl2an 273 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  <_  k  \/  k  < 
N ) )
5 eluz 8484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  N )  <->  N  <_  k ) )
61, 2, 5syl2an 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  N  <_  k ) )
7 eluzel2 8476 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
8 elfzm11 8951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <  N ) ) )
9 df-3an 887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <  N )  <->  ( (
k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  /\  k  <  N ) )
108, 9syl6bb 185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k )  /\  k  <  N ) ) )
117, 1, 10syl2anr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  /\  k  <  N ) ) )
12 eluzle 8483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  k )
132, 12jca 290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
1413adantl 262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
1514biantrurd 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  <  N  <->  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  /\  k  <  N ) ) )
1611, 15bitr4d 180 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  k  <  N
) )
176, 16orbi12d 707 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  N )  \/  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  <->  ( N  <_  k  \/  k  < 
N ) ) )
184, 17mpbird 156 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  \/  k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
1918orcomd 648 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
2019ex 108 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  N ) ) ) )
21 elfzuz 8884 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2221a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
23 uztrn 8487 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2423expcom 109 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
2522, 24jaod 637 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
2620, 25impbid 120 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  N ) ) ) )
27 elun 3084 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  N )
)  <->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
2826, 27syl6bbr 187 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  N )
) ) )
2928eqrdv 2038 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  M )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    \/ wo 629    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393    u. cun 2915   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   1c1 6888    < clt 7058    <_ cle 7059    - cmin 7180   ZZcz 8243   ZZ>=cuz 8471   ...cfz 8872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-ltadd 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-inn 7913  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-fz 8873
This theorem is referenced by:  nn0split  8992
  Copyright terms: Public domain W3C validator