Theorem uniex2 4173

Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set x, its union y exists. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniex2	|- E. y y = U. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfun 4171	. . . 4 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
2		eluni 3583	. . . . . . 7 |- ( z e. U. x <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
3	2	imbi1i 227	. . . . . 6 |- ( ( z e. U. x -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
4	3	albii 1359	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
5	4	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
6	1, 5	mpbir 134	. . 3 |- E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y )
7	6	bm1.3ii 3878	. 2 |- E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x )
8		dfcleq 2034	. . 3 |- ( y = U. x <-> A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
9	8	exbii 1496	. 2 |- ( E. y y = U. x <-> E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
10	7, 9	mpbir 134	1 |- E. y y = U. x

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   U.cuni 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-uni 3581

This theorem is referenced by:  uniex  4174