Theorem undif3ss 3198

Description: A subset relationship involving class union and class difference. In classical logic, this would be equality rather than subset, as in the first equality of Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
undif3ss	|- ( A u. ( B \ C ) ) C_ ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) )

Proof of Theorem undif3ss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3084	. . . 4 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) )
2		eldif 2927	. . . . 5 |- ( x e. ( B \ C ) <-> ( x e. B /\ -. x e. C ) )
3	2	orbi2i 679	. . . 4 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
4		orc 633	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. A \/ x e. B ) )
5		olc 632	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( -. x e. C \/ x e. A ) )
6	4, 5	jca 290	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
7		olc 632	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( x e. A \/ x e. B ) )
8		orc 633	. . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( -. x e. C \/ x e. A ) )
9	7, 8	anim12i 321	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
10	6, 9	jaoi 636	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
11		simpl 102	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ -. x e. C ) -> x e. A )
12	11	orcd 652	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ -. x e. C ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
13		olc 632	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ -. x e. C ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
14		orc 633	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
15	14	adantr 261	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
16	14	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
17	12, 13, 15, 16	ccase 871	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
18	10, 17	impbii 117	. . . 4 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
19	1, 3, 18	3bitri 195	. . 3 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
20		elun 3084	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
21	20	biimpri 124	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. ( A u. B ) )
22		pm4.53r 804	. . . . . 6 |- ( ( -. x e. C \/ x e. A ) -> -. ( x e. C /\ -. x e. A ) )
23		eldif 2927	. . . . . 6 |- ( x e. ( C \ A ) <-> ( x e. C /\ -. x e. A ) )
24	22, 23	sylnibr 602	. . . . 5 |- ( ( -. x e. C \/ x e. A ) -> -. x e. ( C \ A ) )
25	21, 24	anim12i 321	. . . 4 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) -> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. ( C \ A ) ) )
26		eldif 2927	. . . 4 |- ( x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. ( C \ A ) ) )
27	25, 26	sylibr 137	. . 3 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) -> x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) )
28	19, 27	sylbi 114	. 2 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) -> x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) )
29	28	ssriv 2949	1 |- ( A u. ( B \ C ) ) C_ ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 97   \/ wo 629   e. wcel 1393   \ cdif 2914   u. cun 2915   C_ wss 2917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931

This theorem is referenced by: (None)