Theorem tz6.12c 5203

Description: Corollary of Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12c	|- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y <-> A F y ) )

Distinct variable groups:   y, F   y, A

Proof of Theorem tz6.12c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 1930	. . . 4 |- ( E! y A F y -> E. y A F y )
2		nfeu1 1911	. . . . . 6 |- F/ y E! y A F y
3		nfv 1421	. . . . . 6 |- F/ y A F ( F ` A )
4	2, 3	nfim 1464	. . . . 5 |- F/ y ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) )
5		tz6.12-1 5200	. . . . . . . 8 |- ( ( A F y /\ E! y A F y ) -> ( F ` A ) = y )
6	5	expcom 109	. . . . . . 7 |- ( E! y A F y -> ( A F y -> ( F ` A ) = y ) )
7		breq2 3768	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) = y -> ( A F ( F ` A ) <-> A F y ) )
8	7	biimprd 147	. . . . . . 7 |- ( ( F ` A ) = y -> ( A F y -> A F ( F ` A ) ) )
9	6, 8	syli 33	. . . . . 6 |- ( E! y A F y -> ( A F y -> A F ( F ` A ) ) )
10	9	com12 27	. . . . 5 |- ( A F y -> ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) ) )
11	4, 10	exlimi 1485	. . . 4 |- ( E. y A F y -> ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) ) )
12	1, 11	mpcom 32	. . 3 |- ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) )
13	12, 7	syl5ibcom 144	. 2 |- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y -> A F y ) )
14	13, 6	impbid 120	1 |- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y <-> A F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   E!weu 1900   class class class wbr 3764   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-iota 4867  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5214