ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposss Unicode version

Theorem tposss 5802
Description: Subset theorem for transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposss  F 
C_  G tpos  F  C_ tpos  G

Proof of Theorem tposss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coss1 4434 . . 3  F 
C_  G  F  o.  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  C_  G  o.  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }
2 dmss 4477 . . . . . 6  F 
C_  G  dom  F 
C_  dom  G
3 cnvss 4451 . . . . . 6  dom 
F  C_  dom  G  `' dom  F  C_  `' dom  G
4 unss1 3106 . . . . . 6  `' dom  F  C_  `' dom  G  `' dom  F  u.  { (/)
}  C_  `' dom  G  u.  { (/)
}
5 resmpt 4599 . . . . . 6  `' dom  F  u.  { (/)
}  C_  `' dom  G  u.  { (/)
}  `' dom  G  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  |`  `' dom  F  u.  { (/)
}  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }
62, 3, 4, 54syl 18 . . . . 5  F 
C_  G  `' dom  G  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  |`  `' dom  F  u.  { (/)
}  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }
7 resss 4578 . . . . 5  `' dom  G  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  |`  `' dom  F  u.  { (/)
}  C_  `' dom  G  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }
86, 7syl6eqssr 2990 . . . 4  F 
C_  G  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  C_  `' dom  G  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }
9 coss2 4435 . . . 4  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  C_  `' dom  G  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  G  o.  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  C_  G  o.  `' dom  G  u.  { (/) }  |->  U. `' { }
108, 9syl 14 . . 3  F 
C_  G  G  o.  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  C_  G  o.  `' dom  G  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }
111, 10sstrd 2949 . 2  F 
C_  G  F  o.  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  C_  G  o.  `' dom  G  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }
12 df-tpos 5801 . 2 tpos  F  F  o.  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }
13 df-tpos 5801 . 2 tpos  G  G  o.  `' dom  G  u.  { (/) }  |->  U. `' { }
1411, 12, 133sstr4g 2980 1  F 
C_  G tpos  F  C_ tpos  G
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wceq 1242    u. cun 2909    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   U.cuni 3571    |-> cmpt 3809   `'ccnv 4287   dom cdm 4288    |` cres 4290    o. ccom 4292  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  tposeq  5803
  Copyright terms: Public domain W3C validator