Theorem tposexg 5873

Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposexg	|- ( F e. V -> tpos F e. _V )

Proof of Theorem tposexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposssxp 5864	. 2 |- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )
2		dmexg 4596	. . . . 5 |- ( F e. V -> dom F e. _V )
3		cnvexg 4855	. . . . 5 |- ( dom F e. _V -> `' dom F e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( F e. V -> `' dom F e. _V )
5		p0ex 3939	. . . 4 |- { (/) } e. _V
6		unexg 4178	. . . 4 |- ( ( `' dom F e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 392	. . 3 |- ( F e. V -> ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V )
8		rnexg 4597	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
9		xpexg 4452	. . 3 |- ( ( ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V /\ ran F e. _V ) -> ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V )
10	7, 8, 9	syl2anc 391	. 2 |- ( F e. V -> ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V )
11		ssexg 3896	. 2 |- ( (tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) /\ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V ) -> tpos F e. _V )
12	1, 10, 11	sylancr 393	1 |- ( F e. V -> tpos F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   u. cun 2915   C_ wss 2917   (/)c0 3224   {csn 3375   X. cxp 4343   `'ccnv 4344   dom cdm 4345   ran crn 4346  tpos ctpos 5859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-tpos 5860

This theorem is referenced by:  tposex  5893