ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrlemibxssdm Unicode version

Theorem tfrlemibxssdm 5882
Description: The union of is defined on all ordinals. Lemma for tfrlemi1 5887. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
tfrlemisucfn.2  Fun 
F  F `  _V
tfrlemi1.3  { h  |  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. } }
tfrlemi1.4  On
tfrlemi1.5  Fn  `  F `  |`
Assertion
Ref Expression
tfrlemibxssdm  C_  dom  U.
Distinct variable groups:   ,, h,,,,,   , F,, h,,,,   ,,   ,,,, h,   ,, h,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem tfrlemibxssdm
StepHypRef Expression
1 tfrlemi1.5 . . 3  Fn  `  F `  |`
2 tfrlemi1.4 . . . 4  On
3 tfrlemisucfn.2 . . . . . . . . . . . 12  Fun 
F  F `  _V
43tfrlem3-2d 5869 . . . . . . . . . . 11  Fun  F  F `  _V
54simprd 107 . . . . . . . . . 10  F `  _V
653ad2ant1 924 . . . . . . . . 9  On  Fn  `  F `  |`  F `  _V
7 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 
_V
8 opexg 3955 . . . . . . . . . . . . 13  _V  F `  _V  <. ,  F `
 >. 
_V
97, 5, 8sylancr 393 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  F ` 
>.  _V
10 snidg 3392 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  F `  >.  _V  <. ,  F ` 
>.  { <. ,  F `  >. }
11 elun2 3105 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  F `  >.  { <. ,  F `  >. }  <. ,  F `  >.  u.  { <. ,  F `  >. }
129, 10, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11  <. ,  F ` 
>.  u. 
{ <. ,  F ` 
>. }
13123ad2ant1 924 . . . . . . . . . 10  On  Fn  `  F `  |`  <. ,  F `  >.  u.  { <. ,  F `  >. }
14 simp2r 930 . . . . . . . . . . . 12  On  Fn  `  F `  |`
15 simp3l 931 . . . . . . . . . . . 12  On  Fn  `  F `  |`  Fn
16 onelon 4087 . . . . . . . . . . . . . . 15  On  On
17 rspe 2364 . . . . . . . . . . . . . . 15  On  Fn  `  F `  |`  On  Fn  `  F `  |`
1816, 17sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14  On  Fn  `  F `  |`  On  Fn  `  F `  |`
19 tfrlemisucfn.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
20 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 
_V
2119, 20tfrlem3a 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  On  Fn  `  F `  |`
2218, 21sylibr 137 . . . . . . . . . . . . 13  On  Fn  `  F `  |`
23223adant1 921 . . . . . . . . . . . 12  On  Fn  `  F `  |`
2414, 15, 233jca 1083 . . . . . . . . . . 11  On  Fn  `  F `  |`  Fn
25 snexg 3927 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  F `  >.  _V  { <. ,  F ` 
>. }  _V
26 unexg 4144 . . . . . . . . . . . . . . 15  _V  {
<. ,  F `
 >. }  _V  u.  { <. ,  F `  >. } 
_V
2720, 26mpan 400 . . . . . . . . . . . . . 14  { <. ,  F `
 >. }  _V  u.  { <. ,  F `  >. } 
_V
289, 25, 273syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  u.  { <. ,  F `
 >. }  _V
29 isset 2555 . . . . . . . . . . . . 13  u.  { <. ,  F `  >. } 
_V  h  h  u.  { <. ,  F `
 >. }
3028, 29sylib 127 . . . . . . . . . . . 12  h  h  u.  { <. ,  F `
 >. }
31303ad2ant1 924 . . . . . . . . . . 11  On  Fn  `  F `  |`  h  h  u.  { <. ,  F `  >. }
32 simpr3 911 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. }  h  u.  { <. ,  F `
 >. }
33 19.8a 1479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Fn  h  u.  { <. ,  F ` 
>. }  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }
34 rspe 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }
35 tfrlemi1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  { h  |  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. } }
3635abeq2i 2145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  h  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. }
3734, 36sylibr 137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. } 
h
3833, 37sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. }  h
3932, 38eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . . . . 14  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. }  u.  { <. ,  F `  >. }
40393exp2 1121 . . . . . . . . . . . . 13  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. }  u.  { <. ,  F `  >. }
41403imp 1097 . . . . . . . . . . . 12  Fn  h  u.  { <. ,  F ` 
>. }  u.  { <. ,  F `  >. }
4241exlimdv 1697 . . . . . . . . . . 11  Fn  h  h  u.  { <. ,  F `  >. }  u.  { <. ,  F `  >. }
4324, 31, 42sylc 56 . . . . . . . . . 10  On  Fn  `  F `  |`  u.  { <. ,  F `  >. }
44 elunii 3576 . . . . . . . . . 10 
<. ,  F `
 >.  u.  { <. ,  F `
 >. }  u.  { <. ,  F `  >. }  <. ,  F `  >.  U.
4513, 43, 44syl2anc 391 . . . . . . . . 9  On  Fn  `  F `  |`  <. ,  F `  >.  U.
46 opeq2 3541 . . . . . . . . . . . 12  F `  <. ,  >.  <. ,  F `  >.
4746eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11  F `  <. ,  >. 
U.  <. ,  F `  >.  U.
4847spcegv 2635 . . . . . . . . . 10  F `  _V  <. ,  F `
 >. 
U.  <. ,  >.  U.
497eldm2 4476 . . . . . . . . . 10  dom  U.  <. ,  >.  U.
5048, 49syl6ibr 151 . . . . . . . . 9  F `  _V  <. ,  F `
 >. 
U.  dom  U.
516, 45, 50sylc 56 . . . . . . . 8  On  Fn  `  F `  |`  dom  U.
52513expia 1105 . . . . . . 7  On  Fn  `  F `  |`  dom  U.
5352exlimdv 1697 . . . . . 6  On  Fn  `  F `  |` 
dom  U.
5453anassrs 380 . . . . 5  On  Fn  `  F `  |`  dom  U.
5554ralimdva 2381 . . . 4  On  Fn  `  F `  |`  dom  U.
562, 55mpdan 398 . . 3  Fn  `  F `  |`  dom  U.
571, 56mpd 13 . 2  dom  U.
58 dfss3 2929 . 2 
C_  dom  U.  dom  U.
5957, 58sylibr 137 1  C_  dom  U.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551    u. cun 2909    C_ wss 2911   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571   Oncon0 4066   dom cdm 4288    |` cres 4290   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  tfrlemibfn  5883
  Copyright terms: Public domain W3C validator