Theorem tfrlemibxssdm 5941

Description: The union of B is defined on all ordinals. Lemma for tfrlemi1 5946. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemi1.3	|- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4	|- ( ph -> x e. On )
tfrlemi1.5	|- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemibxssdm	|- ( ph -> x C_ dom U. B )

Distinct variable groups:   f, g, h, w, x, y, z, A   f, F, g, h, w, x, y, z   ph, w, y   w, B, f, g, h, z   ph, g, h, z

Allowed substitution hints:   ph( x, f)   B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibxssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemi1.5	. . 3 |- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
2		tfrlemi1.4	. . . 4 |- ( ph -> x e. On )
3		tfrlemisucfn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
4	3	tfrlem3-2d 5928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
5	4	simprd 107	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
6	5	3ad2ant1 925	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( F ` g ) e. _V )
7		vex 2560	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
8		opexg 3964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` g ) e. _V ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
9	7, 5, 8	sylancr 393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
10		snidg 3400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> <. z , ( F ` g ) >. e. { <. z , ( F ` g ) >. } )
11		elun2 3111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. { <. z , ( F ` g ) >. } -> <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
12	9, 10, 11	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
13	12	3ad2ant1 925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
14		simp2r 931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. x )
15		simp3l 932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> g Fn z )
16		onelon 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
17		rspe 2370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. On /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. z e. On ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
18	16, 17	sylan 267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. z e. On ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
19		tfrlemisucfn.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
20		vex 2560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- g e. _V
21	19, 20	tfrlem3a 5925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. A <-> E. z e. On ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
22	18, 21	sylibr 137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> g e. A )
23	22	3adant1 922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> g e. A )
24	14, 15, 23	3jca 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( z e. x /\ g Fn z /\ g e. A ) )
25		snexg 3936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
26		unexg 4178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
27	20, 26	mpan 400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
28	9, 25, 27	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
29		isset 2561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V <-> E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
30	28, 29	sylib 127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
31	30	3ad2ant1 925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
32		simpr3 912	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. x /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
33		19.8a 1482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) )
34		rspe 2370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. x /\ E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) )
35		tfrlemi1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
36	35	abeq2i 2148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h e. B <-> E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) )
37	34, 36	sylibr 137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. x /\ E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
38	33, 37	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. x /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
39	32, 38	eqeltrrd 2115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. x /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B )
40	39	3exp2 1122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. x -> ( g Fn z -> ( g e. A -> ( h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) ) ) )
41	40	3imp 1098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. x /\ g Fn z /\ g e. A ) -> ( h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) )
42	41	exlimdv 1700	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. x /\ g Fn z /\ g e. A ) -> ( E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) )
43	24, 31, 42	sylc 56	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B )
44		elunii 3585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) /\ ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. U. B )
45	13, 43, 44	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. U. B )
46		opeq2 3550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` g ) -> <. z , w >. = <. z , ( F ` g ) >. )
47	46	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F ` g ) -> ( <. z , w >. e. U. B <-> <. z , ( F ` g ) >. e. U. B ) )
48	47	spcegv 2641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` g ) e. _V -> ( <. z , ( F ` g ) >. e. U. B -> E. w <. z , w >. e. U. B ) )
49	7	eldm2 4533	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. dom U. B <-> E. w <. z , w >. e. U. B )
50	48, 49	syl6ibr 151	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` g ) e. _V -> ( <. z , ( F ` g ) >. e. U. B -> z e. dom U. B ) )
51	6, 45, 50	sylc 56	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. dom U. B )
52	51	3expia 1106	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) ) -> ( ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
53	52	exlimdv 1700	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) ) -> ( E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
54	53	anassrs 380	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. On ) /\ z e. x ) -> ( E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
55	54	ralimdva 2387	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. On ) -> ( A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> A. z e. x z e. dom U. B ) )
56	2, 55	mpdan 398	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> A. z e. x z e. dom U. B ) )
57	1, 56	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. z e. x z e. dom U. B )
58		dfss3 2935	. 2 |- ( x C_ dom U. B <-> A. z e. x z e. dom U. B )
59	57, 58	sylibr 137	1 |- ( ph -> x C_ dom U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   u. cun 2915   C_ wss 2917   {csn 3375   <.cop 3378   U.cuni 3580   Oncon0 4100   dom cdm 4345   |` cres 4347   Fun wfun 4896   Fn wfn 4897   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-res 4357  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  tfrlemibfn  5942