Theorem tfisi 4310

Description: A transfinite induction scheme in "implicit" form where the induction is done on an object derived from the object of interest. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfisi.a	|- ( ph -> A e. V )
tfisi.b	|- ( ph -> T e. On )
tfisi.c	|- ( ( ph /\ ( R e. On /\ R C_ T ) /\ A. y ( S e. R -> ch ) ) -> ps )
tfisi.d	|- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
tfisi.e	|- ( x = A -> ( ps <-> th ) )
tfisi.f	|- ( x = y -> R = S )
tfisi.g	|- ( x = A -> R = T )

Assertion

Ref	Expression
tfisi	|- ( ph -> th )

Distinct variable groups:   x, y, T   y, R   x, S   ch, x   ph, x, y   ps, y   x, A   th, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   th( y)   A( y)   R( x)   S( y)   V( x, y)

Proof of Theorem tfisi

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2964	. 2 |- T C_ T
2		eqid 2040	. . . . 5 |- T = T
3		tfisi.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
4		tfisi.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. On )
5		eqeq2 2049	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( R = z <-> R = w ) )
6		sseq1 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( z C_ T <-> w C_ T ) )
7	6	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( ph /\ z C_ T ) <-> ( ph /\ w C_ T ) ) )
8	7	imbi1d 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) )
9	5, 8	imbi12d 223	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) ) )
10	9	albidv 1705	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> A. x ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) ) )
11		tfisi.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> R = S )
12	11	eqeq1d 2048	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( R = w <-> S = w ) )
13		tfisi.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
14	13	imbi2d 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) )
15	12, 14	imbi12d 223	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) <-> ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) )
16	15	cbvalv 1794	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) <-> A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) )
17	10, 16	syl6bb 185	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) )
18		eqeq2 2049	. . . . . . . . . 10 |- ( z = T -> ( R = z <-> R = T ) )
19		sseq1 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = T -> ( z C_ T <-> T C_ T ) )
20	19	anbi2d 437	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = T -> ( ( ph /\ z C_ T ) <-> ( ph /\ T C_ T ) ) )
21	20	imbi1d 220	. . . . . . . . . 10 |- ( z = T -> ( ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) )
22	18, 21	imbi12d 223	. . . . . . . . 9 |- ( z = T -> ( ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) ) )
23	22	albidv 1705	. . . . . . . 8 |- ( z = T -> ( A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) ) )
24		simp3l 932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> ph )
25		simp2 905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> R = z )
26		simp1l 928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> z e. On )
27	25, 26	eqeltrd 2114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> R e. On )
28		simp3r 933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> z C_ T )
29	25, 28	eqsstrd 2979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> R C_ T )
30		simpl3l 959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> ph )
31		simpl1l 955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> z e. On )
32		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R e. R )
33		simpl2 908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> R = z )
34	32, 33	eleqtrd 2116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R e. z )
35		onelss 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. On -> ( [_ v / x ]_ R e. z -> [_ v / x ]_ R C_ z ) )
36	31, 34, 35	sylc 56	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R C_ z )
37		simpl3r 960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> z C_ T )
38	36, 37	sstrd 2955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R C_ T )
39		simpl1r 956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) )
40		eqeq2 2049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( S = w <-> S = [_ v / x ]_ R ) )
41		sseq1 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( w C_ T <-> [_ v / x ]_ R C_ T ) )
42	41	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ w C_ T ) <-> ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) ) )
43	42	imbi1d 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) <-> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) )
44	40, 43	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) <-> ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) ) )
45	44	albidv 1705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) <-> A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) ) )
46	45	rspcva 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( [_ v / x ]_ R e. z /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) -> A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) )
47	34, 39, 46	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) )
48		eqidd 2041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R )
49		nfcv 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ x y
50		nfcv 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ x S
51	49, 50, 11	csbhypf 2885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = y -> [_ v / x ]_ R = S )
52	51	eqcomd 2045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = y -> S = [_ v / x ]_ R )
53	52	equcoms 1594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = v -> S = [_ v / x ]_ R )
54	53	eqeq1d 2048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = v -> ( S = [_ v / x ]_ R <-> [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R ) )
55		nfv 1421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ x ch
56	55, 13	sbhypf 2603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = y -> ( [ v / x ] ps <-> ch ) )
57	56	bicomd 129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = y -> ( ch <-> [ v / x ] ps ) )
58	57	equcoms 1594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = v -> ( ch <-> [ v / x ] ps ) )
59	58	imbi2d 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = v -> ( ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) <-> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) ) )
60	54, 59	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = v -> ( ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) <-> ( [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) ) ) )
61	60	spv 1740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) -> ( [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) ) )
62	47, 48, 61	sylc 56	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) )
63	30, 38, 62	mp2and 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [ v / x ] ps )
64	63	ex 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) )
65	64	alrimiv 1754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> A. v ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) )
66	51	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = y -> ( [_ v / x ]_ R e. R <-> S e. R ) )
67	66, 56	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = y -> ( ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) <-> ( S e. R -> ch ) ) )
68	67	cbvalv 1794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) <-> A. y ( S e. R -> ch ) )
69	65, 68	sylib 127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> A. y ( S e. R -> ch ) )
70		tfisi.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. On /\ R C_ T ) /\ A. y ( S e. R -> ch ) ) -> ps )
71	24, 27, 29, 69, 70	syl121anc 1140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> ps )
72	71	3exp 1103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) -> ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) )
73	72	alrimiv 1754	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) -> A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) )
74	73	ex 108	. . . . . . . 8 |- ( z e. On -> ( A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) -> A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) ) )
75	17, 23, 74	tfis3 4309	. . . . . . 7 |- ( T e. On -> A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) )
76	4, 75	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) )
77		tfisi.g	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> R = T )
78	77	eqeq1d 2048	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( R = T <-> T = T ) )
79		tfisi.e	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( ps <-> th ) )
80	79	imbi2d 219	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) )
81	78, 80	imbi12d 223	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) <-> ( T = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) ) )
82	81	spcgv 2640	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) -> ( T = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) ) )
83	3, 76, 82	sylc 56	. . . . 5 |- ( ph -> ( T = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) )
84	2, 83	mpi 15	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) )
85	84	expd 245	. . 3 |- ( ph -> ( ph -> ( T C_ T -> th ) ) )
86	85	pm2.43i 43	. 2 |- ( ph -> ( T C_ T -> th ) )
87	1, 86	mpi 15	1 |- ( ph -> th )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   [wsb 1645   A.wral 2306   [_csb 2852   C_ wss 2917   Oncon0 4100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-in 2924  df-ss 2931  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105

This theorem is referenced by: (None)