Theorem tfis2f 4307

Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfis2f.1	|- F/ x ps
tfis2f.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
tfis2f.3	|- ( x e. On -> ( A. y e. x ps -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
tfis2f	|- ( x e. On -> ph )

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)

Proof of Theorem tfis2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis2f.1	. . . . 5 |- F/ x ps
2		tfis2f.2	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
3	1, 2	sbie 1674	. . . 4 |- ( [ y / x ] ph <-> ps )
4	3	ralbii 2330	. . 3 |- ( A. y e. x [ y / x ] ph <-> A. y e. x ps )
5		tfis2f.3	. . 3 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ps -> ph ) )
6	4, 5	syl5bi 141	. 2 |- ( x e. On -> ( A. y e. x [ y / x ] ph -> ph ) )
7	6	tfis 4306	1 |- ( x e. On -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   F/wnf 1349   e. wcel 1393   [wsb 1645   A.wral 2306   Oncon0 4100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105

This theorem is referenced by:  tfis2  4308  tfri3  5953