ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subval Structured version   Unicode version

Theorem subval 7000
Description: Value of subtraction, which is the (unique) element such that  + . (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
subval  CC  CC  -  iota_  CC  +
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem subval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negeu 6999 . . . 4  CC  CC  CC  +
2 riotacl 5425 . . . 4  CC  +  iota_  CC  +  CC
31, 2syl 14 . . 3  CC  CC  iota_  CC  +  CC
43ancoms 255 . 2  CC  CC  iota_  CC  +  CC
5 eqeq2 2046 . . . 4  +  +
65riotabidv 5413 . . 3  iota_  CC  + 
iota_  CC  +
7 oveq1 5462 . . . . 5  +  +
87eqeq1d 2045 . . . 4  +  +
98riotabidv 5413 . . 3  iota_  CC  + 
iota_  CC  +
10 df-sub 6981 . . 3  -  CC ,  CC  |->  iota_  CC  +
116, 9, 10ovmpt2g 5577 . 2  CC  CC  iota_  CC  +  CC  -  iota_  CC  +
124, 11mpd3an3 1232 1  CC  CC  -  iota_  CC  +
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390  wreu 2302   iota_crio 5410  (class class class)co 5455   CCcc 6709    + caddc 6714    - cmin 6979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981
This theorem is referenced by:  subcl  7007  subf  7010  subadd  7011
  Copyright terms: Public domain W3C validator