ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subdi Unicode version

Theorem subdi 7178
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
subdi  CC  CC  C  CC  x.  -  C  x.  -  x.  C

Proof of Theorem subdi
StepHypRef Expression
1 simp1 903 . . . . 5  CC  CC  C  CC  CC
2 simp3 905 . . . . 5  CC  CC  C  CC  C  CC
3 subcl 7007 . . . . . 6  CC  C  CC  -  C  CC
433adant1 921 . . . . 5  CC  CC  C  CC  -  C  CC
51, 2, 4adddid 6849 . . . 4  CC  CC  C  CC  x.  C  +  -  C  x.  C  +  x.  -  C
6 pncan3 7016 . . . . . . 7  C  CC  CC  C  +  -  C
76ancoms 255 . . . . . 6  CC  C  CC  C  +  -  C
873adant1 921 . . . . 5  CC  CC  C  CC  C  +  -  C
98oveq2d 5471 . . . 4  CC  CC  C  CC  x.  C  +  -  C  x.
105, 9eqtr3d 2071 . . 3  CC  CC  C  CC  x.  C  +  x.  -  C  x.
11 mulcl 6806 . . . . 5  CC  CC  x.  CC
12113adant3 923 . . . 4  CC  CC  C  CC  x.  CC
13 mulcl 6806 . . . . 5  CC  C  CC  x.  C  CC
14133adant2 922 . . . 4  CC  CC  C  CC  x.  C  CC
15 mulcl 6806 . . . . . 6  CC  -  C  CC  x.  -  C  CC
163, 15sylan2 270 . . . . 5  CC  CC  C  CC  x.  -  C  CC
17163impb 1099 . . . 4  CC  CC  C  CC  x.  -  C  CC
1812, 14, 17subaddd 7136 . . 3  CC  CC  C  CC  x.  -  x.  C  x.  -  C  x.  C  +  x.  -  C  x.
1910, 18mpbird 156 . 2  CC  CC  C  CC  x.  -  x.  C  x.  -  C
2019eqcomd 2042 1  CC  CC  C  CC  x.  -  C  x.  -  x.  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455   CCcc 6709    + caddc 6714    x. cmul 6716    - cmin 6979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981
This theorem is referenced by:  subdir  7179  subdii  7200  subdid  7207  expubnd  8965  subsq  9011
  Copyright terms: Public domain W3C validator