Theorem ssoprab2 5561

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2 4012. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssoprab2	|- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )

Proof of Theorem ssoprab2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ps ) )
2	1	anim2d 320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
3	2	alimi 1344	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ph -> ps ) -> A. z ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
4		exim 1490	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A. z ( ph -> ps ) -> ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
6	5	alimi 1344	. . . . . 6 |- ( A. y A. z ( ph -> ps ) -> A. y ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
7		exim 1490	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ph -> ps ) -> ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
9	8	alimi 1344	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> A. x ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
10		exim 1490	. . . 4 |- ( A. x ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
12	11	ss2abdv 3013	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } C_ { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) } )
13		df-oprab 5516	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
14		df-oprab 5516	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ps } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) }
15	12, 13, 14	3sstr4g 2986	1 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   {cab 2026   C_ wss 2917   <.cop 3378   {coprab 5513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-in 2924  df-ss 2931  df-oprab 5516

This theorem is referenced by:  ssoprab2b  5562