ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssopab2b Unicode version

Theorem ssopab2b 4004
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssopab2b  { <. ,  >.  |  }  C_  { <. ,  >.  |  }

Proof of Theorem ssopab2b
StepHypRef Expression
1 nfopab1 3817 . . . 4  F/_ { <. , 
>.  |  }
2 nfopab1 3817 . . . 4  F/_ { <. , 
>.  |  }
31, 2nfss 2932 . . 3  F/ { <. , 
>.  |  }  C_  {
<. ,  >.  |  }
4 nfopab2 3818 . . . . 5  F/_ { <. , 
>.  |  }
5 nfopab2 3818 . . . . 5  F/_ { <. , 
>.  |  }
64, 5nfss 2932 . . . 4  F/ { <. , 
>.  |  }  C_  {
<. ,  >.  |  }
7 ssel 2933 . . . . 5  { <. ,  >.  |  }  C_  { <. ,  >.  |  }  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  <. , 
>.  { <. ,  >.  |  }
8 opabid 3985 . . . . 5  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
9 opabid 3985 . . . . 5  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
107, 8, 93imtr3g 193 . . . 4  { <. ,  >.  |  }  C_  { <. ,  >.  |  }
116, 10alrimi 1412 . . 3  { <. ,  >.  |  }  C_  { <. ,  >.  |  }
123, 11alrimi 1412 . 2  { <. ,  >.  |  }  C_  { <. ,  >.  |  }
13 ssopab2 4003 . 2  { <. ,  >.  |  }  C_  { <. ,  >.  |  }
1412, 13impbii 117 1  { <. ,  >.  |  }  C_  { <. ,  >.  |  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 98  wal 1240   wcel 1390    C_ wss 2911   <.cop 3370   {copab 3808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810
This theorem is referenced by:  eqopab2b  4007  dffun2  4855
  Copyright terms: Public domain W3C validator