Theorem ssopab2b 4013

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssopab2b	|- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )

Proof of Theorem ssopab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 3826	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab1 3826	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ps }
3	1, 2	nfss 2938	. . 3 |- F/ x { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps }
4		nfopab2 3827	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
5		nfopab2 3827	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ps }
6	4, 5	nfss 2938	. . . 4 |- F/ y { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps }
7		ssel 2939	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ps } ) )
8		opabid 3994	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
9		opabid 3994	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ps } <-> ps )
10	7, 8, 9	3imtr3g 193	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> ( ph -> ps ) )
11	6, 10	alrimi 1415	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> A. y ( ph -> ps ) )
12	3, 11	alrimi 1415	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> A. x A. y ( ph -> ps ) )
13		ssopab2 4012	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> ps ) -> { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } )
14	12, 13	impbii 117	1 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   A.wal 1241   e. wcel 1393   C_ wss 2917   <.cop 3378   {copab 3817

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819

This theorem is referenced by:  eqopab2b  4016  dffun2  4912