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Theorem ssfzo12bi 9081
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12bi  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  <->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) )

Proof of Theorem ssfzo12bi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 887 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  K  <  L ) )
21biimpri 124 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )
323adant2 923 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )
4 ssfzo12 9080 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
53, 4syl 14 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
6 elfzo2 9007 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( K..^ L
)  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  L  e.  ZZ  /\  x  <  L ) )
7 eluz2 8479 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  K  <_  x ) )
8 simprrl 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  M  e.  ZZ )
10 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  x  e.  ZZ )
11 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1211adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
1312adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  RR )
1413adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  RR )
15 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1615adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  RR )
1817adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  K  e.  RR )
19 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
2019adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  x  e.  RR )
21 letr 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  M  <_  x
) )
2214, 18, 20, 21syl3anc 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  M  <_  x ) )
2322imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  M  <_  x )
249, 10, 233jca 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
2524exp31 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  <_  K  /\  K  <_  x
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2625com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2726expdimp 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  -> 
( K  <_  x  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2827impancom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( M  <_  K  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2928com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  K  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
30293adant3 924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( M  <_  K  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3130com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  <_  K  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3231adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  <_  K  /\  L  <_  N )  -> 
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3332impcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3433com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3534adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3635imp 115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
37 eluz2 8479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
3836, 37sylibr 137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )
39 simpl2r 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
4039adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
4119adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
42 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
4342ad3antlr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
44 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
4645adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR )
4746adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
48 ltletr 7107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( x  <  L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N
) )
4941, 43, 47, 48syl3anc 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N ) )
5049ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( x  e.  ZZ  ->  ( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N ) ) )
5150com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
52513adant3 924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  <  L  /\  L  <_  N )  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
5352expcomd 1330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( L  <_  N  ->  (
x  <  L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) ) )
5453adantld 263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( M  <_  K  /\  L  <_  N )  ->  ( x  < 
L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) ) )
5554imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( x  <  L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
5655com13 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) ) )
5756adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) ) )
5857imp 115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) )
5958imp 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  <  N
)
60 elfzo2 9007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M..^ N
)  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  x  <  N ) )
6138, 40, 59, 60syl3anbrc 1088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) )
6261exp31 346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
63623adant1 922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  (
x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
647, 63sylbi 114 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( x  <  L  ->  ( (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
6564imp 115 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  x  <  L )  ->  (
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
66653adant2 923 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  L  e.  ZZ  /\  x  < 
L )  ->  (
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
676, 66sylbi 114 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( K..^ L
)  ->  ( (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
6867com12 27 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( x  e.  ( K..^ L )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
6968ssrdv 2951 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
) )
7069ex 108 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( M  <_  K  /\  L  <_  N )  ->  ( K..^ L
)  C_  ( M..^ N ) ) )
715, 70impbid 120 1  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  <->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    e. wcel 1393    C_ wss 2917   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   RRcr 6888    < clt 7060    <_ cle 7061   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473  ..^cfzo 8999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000
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