ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfzo12bi Unicode version

Theorem ssfzo12bi 8851
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12bi  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  K..^ L  C_  M..^ N  M  <_  K  L  <_  N

Proof of Theorem ssfzo12bi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 886 . . . . 5  K  ZZ  L  ZZ  K  <  L  K  ZZ  L  ZZ  K  <  L
21biimpri 124 . . . 4  K  ZZ  L  ZZ  K  <  L  K  ZZ  L  ZZ  K  <  L
323adant2 922 . . 3  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  K  ZZ  L  ZZ  K  <  L
4 ssfzo12 8850 . . 3  K  ZZ  L  ZZ  K  <  L  K..^ L  C_  M..^ N  M  <_  K  L  <_  N
53, 4syl 14 . 2  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  K..^ L  C_  M..^ N  M  <_  K  L  <_  N
6 elfzo2 8777 . . . . . 6  K..^ L 
ZZ>= `  K  L  ZZ  <  L
7 eluz2 8255 . . . . . . . . 9  ZZ>= `  K  K  ZZ  ZZ  K  <_
8 simprrl 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  ZZ  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  ZZ
98adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  ZZ  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  K  K  <_  M  ZZ
10 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  ZZ  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  K  K  <_  ZZ
11 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  M  ZZ  M  RR
1211adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  M  ZZ  N  ZZ  M  RR
1312adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  RR
1413adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  ZZ  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  RR
15 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  K  ZZ  K  RR
1615adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  K  ZZ  L  ZZ  K  RR
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  RR
1817adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  ZZ  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  RR
19 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  ZZ  RR
2019adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  ZZ  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  RR
21 letr 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  M  RR  K  RR  RR  M  <_  K  K  <_ 
M  <_
2214, 18, 20, 21syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  ZZ  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  K  K  <_ 
M  <_
2322imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  ZZ  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  K  K  <_  M  <_
249, 10, 233jca 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  ZZ  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  K  K  <_  M  ZZ  ZZ  M  <_
2524exp31 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  ZZ  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  K  K  <_  M  ZZ  ZZ  M  <_
2625com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  ZZ  M  <_  K  K  <_  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  ZZ  M  <_
2726expdimp 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  ZZ  M  <_  K  K  <_  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  ZZ  M  <_
2827impancom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  ZZ  K  <_  M  <_  K  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  ZZ  M  <_
2928com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  K  ZZ  K  <_  M  ZZ  ZZ  M  <_
30293adant3 923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  ZZ  K  <_  M  ZZ  ZZ  M  <_
3130com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  M  <_  K  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  ZZ  K  <_  M  ZZ  ZZ  M  <_
3231adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  M  <_  K  L  <_  N  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  ZZ  K  <_  M  ZZ  ZZ  M  <_
3332impcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  ZZ  K  <_  M  ZZ  ZZ  M  <_
3433com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  ZZ  K  <_  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  M  ZZ  ZZ  M  <_
3534adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  ZZ  K  <_  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  M  ZZ  ZZ  M  <_
3635imp 115 . . . . . . . . . . . . 13  ZZ  K  <_  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  M  ZZ  ZZ  M  <_
37 eluz2 8255 . . . . . . . . . . . . 13  ZZ>= `  M  M  ZZ  ZZ  M  <_
3836, 37sylibr 137 . . . . . . . . . . . 12  ZZ  K  <_  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  ZZ>= `  M
39 simpl2r 957 . . . . . . . . . . . . 13  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N 
N  ZZ
4039adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  ZZ  K  <_  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  N  ZZ
4119adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  ZZ  RR
42 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  L  ZZ  L  RR
4342ad3antlr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  ZZ  L  RR
44 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  N  ZZ  N  RR
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  M  ZZ  N  ZZ  N  RR
4645adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  N  RR
4746adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  ZZ  N  RR
48 ltletr 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  RR  L  RR  N  RR  <  L  L  <_  N  <  N
4941, 43, 47, 48syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  ZZ  < 
L  L  <_  N  < 
N
5049ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  ZZ  <  L  L  <_  N  <  N
5150com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  <  L  L  <_  N  ZZ  <  N
52513adant3 923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  < 
L  L  <_  N  ZZ  <  N
5352expcomd 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  L  <_  N  <  L  ZZ  <  N
5453adantld 263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  < 
L  ZZ  < 
N
5554imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  <  L  ZZ  <  N
5655com13 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  ZZ  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  <  N
5756adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  ZZ  K  <_  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  <  N
5857imp 115 . . . . . . . . . . . . 13  ZZ  K  <_  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  < 
N
5958imp 115 . . . . . . . . . . . 12  ZZ  K  <_  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  <  N
60 elfzo2 8777 . . . . . . . . . . . 12  M..^ N 
ZZ>= `  M  N  ZZ  <  N
6138, 40, 59, 60syl3anbrc 1087 . . . . . . . . . . 11  ZZ  K  <_  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  M..^ N
6261exp31 346 . . . . . . . . . 10  ZZ  K  <_  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  M..^ N
63623adant1 921 . . . . . . . . 9  K  ZZ  ZZ  K  <_  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  M..^ N
647, 63sylbi 114 . . . . . . . 8  ZZ>= `  K  < 
L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  M..^ N
6564imp 115 . . . . . . 7  ZZ>= `  K  <  L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  M..^ N
66653adant2 922 . . . . . 6  ZZ>= `  K  L  ZZ  < 
L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  M..^ N
676, 66sylbi 114 . . . . 5  K..^ L  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  M..^ N
6867com12 27 . . . 4  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  K..^ L  M..^ N
6968ssrdv 2945 . . 3  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  K..^ L  C_  M..^ N
7069ex 108 . 2  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  M  <_  K  L  <_  N  K..^ L  C_  M..^ N
715, 70impbid 120 1  K  ZZ  L  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  <  L  K..^ L  C_  M..^ N  M  <_  K  L  <_  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wcel 1390    C_ wss 2911   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   RRcr 6710    < clt 6857    <_ cle 6858   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249  ..^cfzo 8769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-fzo 8770
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator