Theorem ssfzo12bi 8851

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12bi	|- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> (( K..^ L) C_ ( M..^ N) <-> ( M <_ K /\ L <_ N)))

Proof of Theorem ssfzo12bi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 886	. . . . 5 |- (( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L) <-> (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ K < L))
2	1	biimpri 124	. . . 4 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ K < L) -> ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L))
3	2	3adant2 922	. . 3 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L))
4		ssfzo12 8850	. . 3 |- (( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L) -> (( K..^ L) C_ ( M..^ N) -> ( M <_ K /\ L <_ N)))
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> (( K..^ L) C_ ( M..^ N) -> ( M <_ K /\ L <_ N)))
6		elfzo2 8777	. . . . . 6 |- (x e. ( K..^ L) <-> (x e. ( ZZ>= ` K) /\ L e. ZZ /\ x < L))
7		eluz2 8255	. . . . . . . . 9 |- (x e. ( ZZ>= ` K) <-> ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x))
8		simprrl 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((x e. ZZ /\ (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ))) -> M e. ZZ)
9	8	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((x e. ZZ /\ (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ))) /\ ( M <_ K /\ K <_ x)) -> M e. ZZ)
10		simpll 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((x e. ZZ /\ (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ))) /\ ( M <_ K /\ K <_ x)) -> x e. ZZ)
11		zre 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M e. ZZ -> M e. RR)
12	11	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (( M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> M e. RR)
13	12	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> M e. RR)
14	13	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((x e. ZZ /\ (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ))) -> M e. RR)
15		zre 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( K e. ZZ -> K e. RR)
16	15	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) -> K e. RR)
17	16	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> K e. RR)
18	17	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((x e. ZZ /\ (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ))) -> K e. RR)
19		zre 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (x e. ZZ -> x e. RR)
20	19	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((x e. ZZ /\ (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ))) -> x e. RR)
21		letr 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (( M e. RR /\ K e. RR /\ x e. RR) -> (( M <_ K /\ K <_ x) -> M <_ x))
22	14, 18, 20, 21	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((x e. ZZ /\ (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ))) -> (( M <_ K /\ K <_ x) -> M <_ x))
23	22	imp 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((x e. ZZ /\ (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ))) /\ ( M <_ K /\ K <_ x)) -> M <_ x)
24	9, 10, 23	3jca 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((x e. ZZ /\ (( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ))) /\ ( M <_ K /\ K <_ x)) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))
25	24	exp31 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x e. ZZ -> ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (( M <_ K /\ K <_ x) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))))
26	25	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (x e. ZZ -> (( M <_ K /\ K <_ x) -> ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))))
27	26	expdimp 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((x e. ZZ /\ M <_ K) -> ( K <_ x -> ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))))
28	27	impancom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. ZZ /\ K <_ x) -> ( M <_ K -> ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))))
29	28	com13 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> ( M <_ K -> ((x e. ZZ /\ K <_ x) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))))
30	29	3adant3 923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> ( M <_ K -> ((x e. ZZ /\ K <_ x) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))))
31	30	com12 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M <_ K -> ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> ((x e. ZZ /\ K <_ x) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))))
32	31	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (( M <_ K /\ L <_ N) -> ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> ((x e. ZZ /\ K <_ x) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))))
33	32	impcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> ((x e. ZZ /\ K <_ x) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x)))
34	33	com12 27	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. ZZ /\ K <_ x) -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x)))
35	34	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. ZZ /\ K <_ x) /\ x < L) -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x)))
36	35	imp 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((x e. ZZ /\ K <_ x) /\ x < L) /\ ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N))) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))
37		eluz2 8255	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ( ZZ>= ` M) <-> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x))
38	36, 37	sylibr 137	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((x e. ZZ /\ K <_ x) /\ x < L) /\ ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N))) -> x e. ( ZZ>= ` M))
39		simpl2r 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> N e. ZZ)
40	39	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((x e. ZZ /\ K <_ x) /\ x < L) /\ ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N))) -> N e. ZZ)
41	19	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ x e. ZZ) -> x e. RR)
42		zre 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( L e. ZZ -> L e. RR)
43	42	ad3antlr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ x e. ZZ) -> L e. RR)
44		zre 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. ZZ -> N e. RR)
45	44	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (( M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> N e. RR)
46	45	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> N e. RR)
47	46	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ x e. ZZ) -> N e. RR)
48		ltletr 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((x e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR) -> ((x < L /\ L <_ N) -> x < N))
49	41, 43, 47, 48	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) /\ x e. ZZ) -> ((x < L /\ L <_ N) -> x < N))
50	49	ex 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (x e. ZZ -> ((x < L /\ L <_ N) -> x < N)))
51	50	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> ((x < L /\ L <_ N) -> (x e. ZZ -> x < N)))
52	51	3adant3 923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> ((x < L /\ L <_ N) -> (x e. ZZ -> x < N)))
53	52	expcomd 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> ( L <_ N -> (x < L -> (x e. ZZ -> x < N))))
54	53	adantld 263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> (( M <_ K /\ L <_ N) -> (x < L -> (x e. ZZ -> x < N))))
55	54	imp 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> (x < L -> (x e. ZZ -> x < N)))
56	55	com13 74	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. ZZ -> (x < L -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> x < N)))
57	56	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ZZ /\ K <_ x) -> (x < L -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> x < N)))
58	57	imp 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. ZZ /\ K <_ x) /\ x < L) -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> x < N))
59	58	imp 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((x e. ZZ /\ K <_ x) /\ x < L) /\ ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N))) -> x < N)
60		elfzo2 8777	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ( M..^ N) <-> (x e. ( ZZ>= ` M) /\ N e. ZZ /\ x < N))
61	38, 40, 59, 60	syl3anbrc 1087	. . . . . . . . . . 11 |- ((((x e. ZZ /\ K <_ x) /\ x < L) /\ ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N))) -> x e. ( M..^ N))
62	61	exp31 346	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ZZ /\ K <_ x) -> (x < L -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> x e. ( M..^ N))))
63	62	3adant1 921	. . . . . . . . 9 |- (( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x) -> (x < L -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> x e. ( M..^ N))))
64	7, 63	sylbi 114	. . . . . . . 8 |- (x e. ( ZZ>= ` K) -> (x < L -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> x e. ( M..^ N))))
65	64	imp 115	. . . . . . 7 |- ((x e. ( ZZ>= ` K) /\ x < L) -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> x e. ( M..^ N)))
66	65	3adant2 922	. . . . . 6 |- ((x e. ( ZZ>= ` K) /\ L e. ZZ /\ x < L) -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> x e. ( M..^ N)))
67	6, 66	sylbi 114	. . . . 5 |- (x e. ( K..^ L) -> (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> x e. ( M..^ N)))
68	67	com12 27	. . . 4 |- (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> (x e. ( K..^ L) -> x e. ( M..^ N)))
69	68	ssrdv 2945	. . 3 |- (((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) /\ ( M <_ K /\ L <_ N)) -> ( K..^ L) C_ ( M..^ N))
70	69	ex 108	. 2 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> (( M <_ K /\ L <_ N) -> ( K..^ L) C_ ( M..^ N)))
71	5, 70	impbid 120	1 |- ((( K e. ZZ /\ L e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K < L) -> (( K..^ L) C_ ( M..^ N) <-> ( M <_ K /\ L <_ N)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   e. wcel 1390   C_ wss 2911   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   RRcr 6710   < clt 6857   <_ cle 6858   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249  ..^cfzo 8769

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-fzo 8770

This theorem is referenced by: (None)