Theorem sscoll2 10113

Description: Version of ax-sscoll 10112 with two DV conditions removed and without initial universal quantifiers. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sscoll2	|- E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, x, y, z   ph, c, d

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, a, b)

Proof of Theorem sscoll2

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1421	. . 3 |- F/ c ( u = a /\ v = b )
2		nfv 1421	. . . 4 |- F/ z ( u = a /\ v = b )
3		simpl 102	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> u = a )
4		rexeq 2506	. . . . . . 7 |- ( v = b -> ( E. y e. v ph <-> E. y e. b ph ) )
5	4	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. y e. v ph <-> E. y e. b ph ) )
6	3, 5	raleqbidv 2517	. . . . 5 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. x e. u E. y e. v ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
7		nfv 1421	. . . . . 6 |- F/ d ( u = a /\ v = b )
8		nfv 1421	. . . . . . 7 |- F/ y ( u = a /\ v = b )
9		rexeq 2506	. . . . . . . . 9 |- ( u = a -> ( E. x e. u ph <-> E. x e. a ph ) )
10	9	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. x e. u ph <-> E. x e. a ph ) )
11	10	bibi2d 221	. . . . . . 7 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( y e. d <-> E. x e. u ph ) <-> ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) )
12	8, 11	albid 1506	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) <-> A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) )
13	7, 12	rexbid 2325	. . . . 5 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) <-> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) )
14	6, 13	imbi12d 223	. . . 4 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) ) )
15	2, 14	albid 1506	. . 3 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) ) <-> A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) ) )
16	1, 15	exbid 1507	. 2 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) ) <-> E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) ) ) )
17		ax-sscoll 10112	. . . 4 |- A. u A. v E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) )
18	17	spi 1429	. . 3 |- A. v E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) )
19	18	spi 1429	. 2 |- E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. u ph ) )
20	16, 19	ch2varv 9908	1 |- E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c A. y ( y e. d <-> E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   E.wex 1381   A.wral 2306   E.wrex 2307

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sscoll 10112

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312

This theorem is referenced by: (None)