Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irr Unicode version

Theorem sqrt2irr 9878
 Description: The square root of 2 is not rational. That is, for any rational number, does not equal it. However, if we were to say "the square root of 2 is irrational" that would mean something stronger: "for any rational number, is apart from it" (the two statements are equivalent given excluded middle). We do not prove irrationality in this stronger sense here. The proof's core is proven in sqr2irrlem 9877, which shows that if , then and are even, so and are smaller representatives, which is absurd. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irr

Proof of Theorem sqrt2irr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 7926 . . . . . 6
2 breq2 3768 . . . . . . . . 9
32imbi1d 220 . . . . . . . 8
43ralbidv 2326 . . . . . . 7
5 breq2 3768 . . . . . . . . 9
65imbi1d 220 . . . . . . . 8
76ralbidv 2326 . . . . . . 7
8 breq2 3768 . . . . . . . . 9
98imbi1d 220 . . . . . . . 8
109ralbidv 2326 . . . . . . 7
11 nnnlt1 7940 . . . . . . . . 9
1211pm2.21d 549 . . . . . . . 8
1312rgen 2374 . . . . . . 7
14 nnrp 8592 . . . . . . . . . . . . . 14
15 rphalflt 8612 . . . . . . . . . . . . . 14
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
17 breq1 3767 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918neeq2d 2224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019ralbidv 2326 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2117, 20imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221rspcv 2652 . . . . . . . . . . . . . 14
2322com13 74 . . . . . . . . . . . . 13
2416, 23syl 14 . . . . . . . . . . . 12
25 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 zcn 8250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2726ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28 nncn 7922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2928ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30 2cnd 7988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31 nnap0 7943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 #
3231ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
33 2ap0 8009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 #
3433a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
3527, 29, 30, 32, 34divcanap7d 7793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3625, 35eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3937, 38, 25sqr2irrlem 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4039simprd 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4139simpld 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4342neeq2d 2224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4443rspcv 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4541, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4640, 45embantd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746necon2bd 2263 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4836, 47mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948ex 108 . . . . . . . . . . . . . 14
5049necon2ad 2262 . . . . . . . . . . . . 13
5150ralrimdva 2399 . . . . . . . . . . . 12
5224, 51syld 40 . . . . . . . . . . 11
53 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . 13
5453neeq2d 2224 . . . . . . . . . . . 12
5554cbvralv 2533 . . . . . . . . . . 11
5652, 55syl6ibr 151 . . . . . . . . . 10
57 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . 13
5857neeq2d 2224 . . . . . . . . . . . 12
5958ralbidv 2326 . . . . . . . . . . 11
6059ceqsralv 2585 . . . . . . . . . 10
6156, 60sylibrd 158 . . . . . . . . 9
6261ancld 308 . . . . . . . 8
63 nnleltp1 8303 . . . . . . . . . . . . . 14
64 nnz 8264 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 nnz 8264 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 zleloe 8292 . . . . . . . . . . . . . . 15
6764, 65, 66syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . 14
6863, 67bitr3d 179 . . . . . . . . . . . . 13
6968ancoms 255 . . . . . . . . . . . 12
7069imbi1d 220 . . . . . . . . . . 11
71 jaob 631 . . . . . . . . . . 11
7270, 71syl6bb 185 . . . . . . . . . 10
7372ralbidva 2322 . . . . . . . . 9
74 r19.26 2441 . . . . . . . . 9
7573, 74syl6bb 185 . . . . . . . 8
7662, 75sylibrd 158 . . . . . . 7
774, 7, 10, 10, 13, 76nnind 7930 . . . . . 6
781, 77syl 14 . . . . 5
79 nnre 7921 . . . . . 6
8079ltp1d 7896 . . . . 5
81 breq1 3767 . . . . . . 7
82 df-ne 2206 . . . . . . . . . 10
8358, 82syl6bb 185 . . . . . . . . 9
8483ralbidv 2326 . . . . . . . 8
85 ralnex 2316 . . . . . . . 8
8684, 85syl6bb 185 . . . . . . 7
8781, 86imbi12d 223 . . . . . 6
8887rspcv 2652 . . . . 5
8978, 80, 88mp2d 41 . . . 4
9089nrex 2411 . . 3
91 elq 8557 . . . 4
92 rexcom 2474 . . . 4
9391, 92bitri 173 . . 3
9490, 93mtbir 596 . 2
9594nelir 2300 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 629   wceq 1243   wcel 1393   wne 2204   wnel 2205  wral 2306  wrex 2307   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  cc 6887  cc0 6889  c1 6890   caddc 6892   clt 7060   cle 7061   # cap 7572   cdiv 7651  cn 7914  c2 7964  cz 8245  cq 8554  crp 8583  csqrt 9594 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-q 8555  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-rsqrt 9596 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator