Theorem snnex 4181

Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
snnex	|- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem snnex

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 3888	. . . 4 |- -. _V e. _V
2		vex 2560	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
3	2	snid 3402	. . . . . . . . 9 |- z e. { z }
4		a9ev 1587	. . . . . . . . . 10 |- E. y y = z
5		sneq 3386	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> { z } = { y } )
6	5	equcoms 1594	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> { z } = { y } )
7	4, 6	eximii 1493	. . . . . . . . 9 |- E. y { z } = { y }
8		snexgOLD 3935	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> { z } e. _V )
9	2, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. _V
10		eleq2 2101	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( z e. x <-> z e. { z } ) )
11		eqeq1 2046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { z } -> ( x = { y } <-> { z } = { y } ) )
12	11	exbidv 1706	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( E. y x = { y } <-> E. y { z } = { y } ) )
13	10, 12	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z } -> ( ( z e. x /\ E. y x = { y } ) <-> ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) ) )
14	9, 13	spcev 2647	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) -> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
15	3, 7, 14	mp2an 402	. . . . . . . 8 |- E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } )
16		eluniab 3592	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
17	15, 16	mpbir 134	. . . . . . 7 |- z e. U. { x | E. y x = { y } }
18	17, 2	2th 163	. . . . . 6 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> z e. _V )
19	18	eqriv 2037	. . . . 5 |- U. { x | E. y x = { y } } = _V
20	19	eleq1i 2103	. . . 4 |- ( U. { x | E. y x = { y } } e. _V <-> _V e. _V )
21	1, 20	mtbir 596	. . 3 |- -. U. { x | E. y x = { y } } e. _V
22		uniexg 4175	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e. _V -> U. { x | E. y x = { y } } e. _V )
23	21, 22	mto 588	. 2 |- -. { x | E. y x = { y } } e. _V
24	23	nelir 2300	1 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   e/ wnel 2205   _Vcvv 2557   {csn 3375   U.cuni 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-nel 2207  df-rex 2312  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-uni 3581

This theorem is referenced by:  fiprc  6292