ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnex Structured version   Unicode version

Theorem snnex 4147
Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
snnex  {  |  { } }  e/  _V
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem snnex
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vprc 3879 . . . 4  _V  _V
2 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
32snid 3394 . . . . . . . . 9 
{ }
4 a9ev 1584 . . . . . . . . . 10
5 sneq 3378 . . . . . . . . . . 11  { }  { }
65equcoms 1591 . . . . . . . . . 10  { }  { }
74, 6eximii 1490 . . . . . . . . 9  { }  { }
8 snexgOLD 3926 . . . . . . . . . . 11  _V  { }  _V
92, 8ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  { }  _V
10 eleq2 2098 . . . . . . . . . . 11  { }  { }
11 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . 12  { }  { }  { }  { }
1211exbidv 1703 . . . . . . . . . . 11  { }  { }  { }  { }
1310, 12anbi12d 442 . . . . . . . . . 10  { }  { }  { }  { }  { }
149, 13spcev 2641 . . . . . . . . 9  { }  { }  { }  { }
153, 7, 14mp2an 402 . . . . . . . 8  { }
16 eluniab 3583 . . . . . . . 8  U. {  |  { } }  { }
1715, 16mpbir 134 . . . . . . 7 
U. {  |  { } }
1817, 22th 163 . . . . . 6  U. {  |  { } }  _V
1918eqriv 2034 . . . . 5  U. {  |  { } }  _V
2019eleq1i 2100 . . . 4  U. {  |  { } }  _V  _V  _V
211, 20mtbir 595 . . 3  U. {  |  { } }  _V
22 uniexg 4141 . . 3  {  |  { } }  _V  U. {  |  { } }  _V
2321, 22mto 587 . 2  {  |  { } }  _V
2423nelir 2294 1  {  |  { } }  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023    e/ wnel 2202   _Vcvv 2551   {csn 3367   U.cuni 3571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-nel 2204  df-rex 2306  df-v 2553  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-uni 3572
This theorem is referenced by:  fiprc  6228
  Copyright terms: Public domain W3C validator