Theorem snnen2og 6322

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a proper class, see snnen2oprc 6323. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	|- ( A e. V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6093	. . 3 |- 1o e. om
2		php5 6321	. . 3 |- ( 1o e. om -> -. 1o ~~ suc 1o )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- -. 1o ~~ suc 1o
4		ensn1g 6277	. 2 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
5		df-2o 6002	. . . . 5 |- 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2044	. . . 4 |- suc 1o = 2o
7	6	breq2i 3772	. . 3 |- ( 1o ~~ suc 1o <-> 1o ~~ 2o )
8		ensymb 6260	. . . . 5 |- ( { A } ~~ 1o <-> 1o ~~ { A } )
9		entr 6264	. . . . . 6 |- ( ( 1o ~~ { A } /\ { A } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
10	9	ex 108	. . . . 5 |- ( 1o ~~ { A } -> ( { A } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
11	8, 10	sylbi 114	. . . 4 |- ( { A } ~~ 1o -> ( { A } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
12	11	con3rr3 563	. . 3 |- ( -. 1o ~~ 2o -> ( { A } ~~ 1o -> -. { A } ~~ 2o ) )
13	7, 12	sylnbi 603	. 2 |- ( -. 1o ~~ suc 1o -> ( { A } ~~ 1o -> -. { A } ~~ 2o ) )
14	3, 4, 13	mpsyl 59	1 |- ( A e. V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 1393   {csn 3375   class class class wbr 3764   suc csuc 4102   omcom 4313   1oc1o 5994   2oc2o 5995   ~~ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1o 6001  df-2o 6002  df-er 6106  df-en 6222

This theorem is referenced by: (None)