ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  smores2 Unicode version

Theorem smores2 5850
Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smores2  Smo  F  Ord  Smo  F  |`

Proof of Theorem smores2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsmo2 5843 . . . . . . 7  Smo 
F  F : dom  F --> On  Ord  dom  F  dom  F  F `  F `
21simp1bi 918 . . . . . 6  Smo 
F  F : dom  F --> On
3 ffun 4991 . . . . . 6  F : dom  F --> On  Fun 
F
42, 3syl 14 . . . . 5  Smo 
F  Fun  F
5 funres 4884 . . . . . 6  Fun 
F  Fun  F  |`
6 funfn 4874 . . . . . 6  Fun  F  |`  F  |`  Fn  dom  F  |`
75, 6sylib 127 . . . . 5  Fun 
F  F  |`  Fn  dom  F  |`
84, 7syl 14 . . . 4  Smo 
F  F  |`  Fn  dom  F  |`
9 df-ima 4301 . . . . . 6  F
" 
ran  F  |`
10 imassrn 4622 . . . . . 6  F
"  C_  ran  F
119, 10eqsstr3i 2970 . . . . 5  ran  F  |`  C_  ran  F
12 frn 4995 . . . . . 6  F : dom  F --> On  ran 
F  C_  On
132, 12syl 14 . . . . 5  Smo 
F  ran  F  C_  On
1411, 13syl5ss 2950 . . . 4  Smo 
F  ran  F  |`  C_  On
15 df-f 4849 . . . 4  F  |`  : dom  F  |`  --> On  F  |`  Fn  dom  F  |`  ran  F  |`  C_  On
168, 14, 15sylanbrc 394 . . 3  Smo 
F  F  |`  : dom  F  |`  --> On
1716adantr 261 . 2  Smo  F  Ord  F  |`  : dom  F  |`  --> On
18 smodm 5847 . . 3  Smo 
F  Ord  dom  F
19 ordin 4088 . . . . 5  Ord  Ord  dom 
F  Ord  i^i  dom  F
20 dmres 4575 . . . . . 6  dom  F  |`  i^i  dom  F
21 ordeq 4075 . . . . . 6  dom  F  |`  i^i  dom 
F  Ord  dom  F  |`  Ord  i^i  dom  F
2220, 21ax-mp 7 . . . . 5  Ord 
dom  F  |`  Ord  i^i  dom  F
2319, 22sylibr 137 . . . 4  Ord  Ord  dom 
F  Ord  dom  F  |`
2423ancoms 255 . . 3  Ord  dom  F  Ord  Ord  dom  F  |`
2518, 24sylan 267 . 2  Smo  F  Ord  Ord  dom  F  |`
26 resss 4578 . . . . . 6  F  |`  C_  F
27 dmss 4477 . . . . . 6  F  |`  C_  F  dom  F  |`  C_  dom  F
2826, 27ax-mp 7 . . . . 5  dom  F  |`  C_  dom  F
291simp3bi 920 . . . . 5  Smo 
F  dom  F  F `  F `
30 ssralv 2998 . . . . 5  dom  F  |` 
C_  dom  F  dom  F  F `  F `  dom  F  |`  F `  F `
3128, 29, 30mpsyl 59 . . . 4  Smo 
F  dom  F  |`  F `  F `
3231adantr 261 . . 3  Smo  F  Ord  dom  F  |`  F `  F `
33 ordtr1 4091 . . . . . . . . . . 11  Ord 
dom  F  |`  dom  F  |` 
dom  F  |`
3425, 33syl 14 . . . . . . . . . 10  Smo  F  Ord  dom  F  |`  dom  F  |`
35 inss1 3151 . . . . . . . . . . . 12  i^i  dom  F  C_
3620, 35eqsstri 2969 . . . . . . . . . . 11  dom  F  |`  C_
3736sseli 2935 . . . . . . . . . 10  dom  F  |`
3834, 37syl6 29 . . . . . . . . 9  Smo  F  Ord  dom  F  |`
3938expcomd 1327 . . . . . . . 8  Smo  F  Ord  dom  F  |`
4039imp31 243 . . . . . . 7  Smo  F  Ord  dom  F  |`
41 fvres 5141 . . . . . . 7  F  |`  `
 F `
4240, 41syl 14 . . . . . 6  Smo  F  Ord  dom  F  |`  F  |`  `  F `
4336sseli 2935 . . . . . . . 8  dom  F  |`
44 fvres 5141 . . . . . . . 8  F  |`  `
 F `
4543, 44syl 14 . . . . . . 7  dom  F  |`  F  |`  `
 F `
4645ad2antlr 458 . . . . . 6  Smo  F  Ord  dom  F  |`  F  |`  `  F `
4742, 46eleq12d 2105 . . . . 5  Smo  F  Ord  dom  F  |`  F  |`  `  F  |`  `  F `  F `
4847ralbidva 2316 . . . 4  Smo  F  Ord  dom  F  |`  F  |`  `
 F  |`  `  F `  F `
4948ralbidva 2316 . . 3  Smo  F  Ord  dom  F  |`  F  |`  `  F  |`  `
 dom  F  |`  F `  F `
5032, 49mpbird 156 . 2  Smo  F  Ord  dom  F  |`  F  |`  `  F  |`  `
51 dfsmo2 5843 . 2  Smo  F  |`  F  |`  : dom  F  |`  --> On  Ord  dom  F  |`  dom  F  |`  F  |`  `  F  |`  `
5217, 25, 50, 51syl3anbrc 1087 1  Smo  F  Ord  Smo  F  |`
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300    i^i cin 2910    C_ wss 2911   Ord word 4065   Oncon0 4066   dom cdm 4288   ran crn 4289    |` cres 4290   "cima 4291   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845   Smo wsmo 5841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-tr 3846  df-iord 4069  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-smo 5842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator