Theorem smores2 5850

Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smores2	|- (( Smo F /\ Ord A) -> Smo ( F |` A))

Proof of Theorem smores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsmo2 5843	. . . . . . 7 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A.x e. dom FA.y e. x ( F ` y) e. ( F ` x)))
2	1	simp1bi 918	. . . . . 6 |- ( Smo F -> F : dom F --> On)
3		ffun 4991	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> Fun F)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( Smo F -> Fun F)
5		funres 4884	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Fun ( F |` A))
6		funfn 4874	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A) <-> ( F |` A) Fn dom ( F |` A))
7	5, 6	sylib 127	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( F |` A) Fn dom ( F |` A))
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( Smo F -> ( F |` A) Fn dom ( F |` A))
9		df-ima 4301	. . . . . 6 |- ( F "A) = ran ( F |` A)
10		imassrn 4622	. . . . . 6 |- ( F "A) C_ ran F
11	9, 10	eqsstr3i 2970	. . . . 5 |- ran ( F |` A) C_ ran F
12		frn 4995	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> ran F C_ On)
13	2, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( Smo F -> ran F C_ On)
14	11, 13	syl5ss 2950	. . . 4 |- ( Smo F -> ran ( F |` A) C_ On)
15		df-f 4849	. . . 4 |- (( F |` A) : dom ( F |` A) --> On <-> (( F |` A) Fn dom ( F |` A) /\ ran ( F |` A) C_ On))
16	8, 14, 15	sylanbrc 394	. . 3 |- ( Smo F -> ( F |` A) : dom ( F |` A) --> On)
17	16	adantr 261	. 2 |- (( Smo F /\ Ord A) -> ( F |` A) : dom ( F |` A) --> On)
18		smodm 5847	. . 3 |- ( Smo F -> Ord dom F)
19		ordin 4088	. . . . 5 |- (( Ord A /\ Ord dom F) -> Ord (A i^i dom F))
20		dmres 4575	. . . . . 6 |- dom ( F |` A) = (A i^i dom F)
21		ordeq 4075	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A) = (A i^i dom F) -> ( Ord dom ( F |` A) <-> Ord (A i^i dom F)))
22	20, 21	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( Ord dom ( F |` A) <-> Ord (A i^i dom F))
23	19, 22	sylibr 137	. . . 4 |- (( Ord A /\ Ord dom F) -> Ord dom ( F |` A))
24	23	ancoms 255	. . 3 |- (( Ord dom F /\ Ord A) -> Ord dom ( F |` A))
25	18, 24	sylan 267	. 2 |- (( Smo F /\ Ord A) -> Ord dom ( F |` A))
26		resss 4578	. . . . . 6 |- ( F |` A) C_ F
27		dmss 4477	. . . . . 6 |- (( F |` A) C_ F -> dom ( F |` A) C_ dom F)
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . 5 |- dom ( F |` A) C_ dom F
29	1	simp3bi 920	. . . . 5 |- ( Smo F -> A.x e. dom FA.y e. x ( F ` y) e. ( F ` x))
30		ssralv 2998	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A) C_ dom F -> (A.x e. dom FA.y e. x ( F ` y) e. ( F ` x) -> A.x e. dom ( F |` A)A.y e. x ( F ` y) e. ( F ` x)))
31	28, 29, 30	mpsyl 59	. . . 4 |- ( Smo F -> A.x e. dom ( F |` A)A.y e. x ( F ` y) e. ( F ` x))
32	31	adantr 261	. . 3 |- (( Smo F /\ Ord A) -> A.x e. dom ( F |` A)A.y e. x ( F ` y) e. ( F ` x))
33		ordtr1 4091	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord dom ( F |` A) -> ((y e. x /\ x e. dom ( F |` A)) -> y e. dom ( F |` A)))
34	25, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- (( Smo F /\ Ord A) -> ((y e. x /\ x e. dom ( F |` A)) -> y e. dom ( F |` A)))
35		inss1 3151	. . . . . . . . . . . 12 |- (A i^i dom F) C_ A
36	20, 35	eqsstri 2969	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` A) C_ A
37	36	sseli 2935	. . . . . . . . . 10 |- (y e. dom ( F |` A) -> y e. A)
38	34, 37	syl6 29	. . . . . . . . 9 |- (( Smo F /\ Ord A) -> ((y e. x /\ x e. dom ( F |` A)) -> y e. A))
39	38	expcomd 1327	. . . . . . . 8 |- (( Smo F /\ Ord A) -> (x e. dom ( F |` A) -> (y e. x -> y e. A)))
40	39	imp31 243	. . . . . . 7 |- (((( Smo F /\ Ord A) /\ x e. dom ( F |` A)) /\ y e. x) -> y e. A)
41		fvres 5141	. . . . . . 7 |- (y e. A -> (( F |` A) ` y) = ( F ` y))
42	40, 41	syl 14	. . . . . 6 |- (((( Smo F /\ Ord A) /\ x e. dom ( F |` A)) /\ y e. x) -> (( F |` A) ` y) = ( F ` y))
43	36	sseli 2935	. . . . . . . 8 |- (x e. dom ( F |` A) -> x e. A)
44		fvres 5141	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (( F |` A) ` x) = ( F ` x))
45	43, 44	syl 14	. . . . . . 7 |- (x e. dom ( F |` A) -> (( F |` A) ` x) = ( F ` x))
46	45	ad2antlr 458	. . . . . 6 |- (((( Smo F /\ Ord A) /\ x e. dom ( F |` A)) /\ y e. x) -> (( F |` A) ` x) = ( F ` x))
47	42, 46	eleq12d 2105	. . . . 5 |- (((( Smo F /\ Ord A) /\ x e. dom ( F |` A)) /\ y e. x) -> ((( F |` A) ` y) e. (( F |` A) ` x) <-> ( F ` y) e. ( F ` x)))
48	47	ralbidva 2316	. . . 4 |- ((( Smo F /\ Ord A) /\ x e. dom ( F |` A)) -> (A.y e. x (( F |` A) ` y) e. (( F |` A) ` x) <-> A.y e. x ( F ` y) e. ( F ` x)))
49	48	ralbidva 2316	. . 3 |- (( Smo F /\ Ord A) -> (A.x e. dom ( F |` A)A.y e. x (( F |` A) ` y) e. (( F |` A) ` x) <-> A.x e. dom ( F |` A)A.y e. x ( F ` y) e. ( F ` x)))
50	32, 49	mpbird 156	. 2 |- (( Smo F /\ Ord A) -> A.x e. dom ( F |` A)A.y e. x (( F |` A) ` y) e. (( F |` A) ` x))
51		dfsmo2 5843	. 2 |- ( Smo ( F |` A) <-> (( F |` A) : dom ( F |` A) --> On /\ Ord dom ( F |` A) /\ A.x e. dom ( F |` A)A.y e. x (( F |` A) ` y) e. (( F |` A) ` x)))
52	17, 25, 50, 51	syl3anbrc 1087	1 |- (( Smo F /\ Ord A) -> Smo ( F |` A))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242   e. wcel 1390  A.wral 2300   i^i cin 2910   C_ wss 2911   Ord word 4065   Oncon0 4066   dom cdm 4288   ran crn 4289   |` cres 4290   "cima 4291   Fun wfun 4839   Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845   Smo wsmo 5841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-tr 3846  df-iord 4069  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-smo 5842

This theorem is referenced by: (None)