Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  smoiso Unicode version

Theorem smoiso 5917
 Description: If is an isomorphism from an ordinal onto , which is a subset of the ordinals, then is a strictly monotonic function. Exercise 3 in [TakeutiZaring] p. 50. (Contributed by Andrew Salmon, 24-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
smoiso

Proof of Theorem smoiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 5447 . . . 4
2 f1of 5126 . . . 4
31, 2syl 14 . . 3
4 ffdm 5061 . . . . . 6
54simpld 105 . . . . 5
6 fss 5054 . . . . 5
75, 6sylan 267 . . . 4
873adant2 923 . . 3
93, 8syl3an1 1168 . 2
10 fdm 5050 . . . . . 6
1110eqcomd 2045 . . . . 5
12 ordeq 4109 . . . . 5
131, 2, 11, 124syl 18 . . . 4
1413biimpa 280 . . 3
15143adant3 924 . 2
1610eleq2d 2107 . . . . . . 7
1710eleq2d 2107 . . . . . . 7
1816, 17anbi12d 442 . . . . . 6
191, 2, 183syl 17 . . . . 5
20 epel 4029 . . . . . . . . 9
21 isorel 5448 . . . . . . . . 9
2220, 21syl5bbr 183 . . . . . . . 8
23 ffn 5046 . . . . . . . . . . 11
243, 23syl 14 . . . . . . . . . 10
2524adantr 261 . . . . . . . . 9
26 simprr 484 . . . . . . . . 9
27 funfvex 5192 . . . . . . . . . . 11
2827funfni 4999 . . . . . . . . . 10
29 epelg 4027 . . . . . . . . . 10
3028, 29syl 14 . . . . . . . . 9
3125, 26, 30syl2anc 391 . . . . . . . 8
3222, 31bitrd 177 . . . . . . 7
3332biimpd 132 . . . . . 6
3433ex 108 . . . . 5
3519, 34sylbid 139 . . . 4
3635ralrimivv 2400 . . 3
37363ad2ant1 925 . 2
38 df-smo 5901 . 2
399, 15, 37, 38syl3anbrc 1088 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 885   wceq 1243   wcel 1393  wral 2306  cvv 2557   wss 2917   class class class wbr 3764   cep 4024   word 4099  con0 4100   cdm 4345   wfn 4897  wf 4898  wf1o 4901  cfv 4902   wiso 4903   wsmo 5900 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-isom 4911  df-smo 5901 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator