Theorem shftval 9426

Description: Value of a sequence shifted by A. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftval	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Proof of Theorem shftval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . 5 |- F e. _V
2	1	shftfib 9424	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = ( F " { ( B - A ) } ) )
3	2	eleq2d 2107	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( x e. ( ( F shift A ) " { B } ) <-> x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
4	3	iotabidv 4888	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
5		simpr 103	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
6		dffv3g 5174	. . 3 |- ( B e. CC -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) )
8		simpl 102	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
9	5, 8	subcld 7322	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
10		dffv3g 5174	. . 3 |- ( ( B - A ) e. CC -> ( F ` ( B - A ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F ` ( B - A ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2082	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {csn 3375   "cima 4348   iotacio 4865   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   - cmin 7182   shift cshi 9415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-shft 9416

This theorem is referenced by:  shftval2  9427  shftval4  9429  shftval5  9430  shftf  9431  shftvalg  9437