Theorem serif0 9871

Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcauc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
serif0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
serif0.3	|- ( ph -> F e. V )
serif0.4	|- ( ph -> seq M ( + , F , CC ) e. dom ~~> )
serif0.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )

Assertion

Ref	Expression
serif0	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, Z   ph, k   k, V

Proof of Theorem serif0

Dummy variables j m n x a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serif0.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		serif0.4	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , F , CC ) e. dom ~~> )
3		climcauc.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	climcaucn 9870	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ seq M ( + , F , CC ) e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` j ) ) ) < x ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 391	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` j ) ) ) < x ) )
6	3	cau3 9711	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) )
7	5, 6	sylib 127	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) )
8	3	peano2uzs 8527	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( j + 1 ) e. Z )
9	8	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. Z )
10		eluzelz 8482	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
11		uzid 8487	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ZZ -> m e. ( ZZ>= ` m ) )
12		peano2uz 8526	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` m ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) )
13		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) = ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) )
15	14	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) )
16	15	breq1d 3774	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
17	16	rspcv 2652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
18	10, 11, 12, 17	4syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
19	18	adantld 263	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
20	19	ralimia 2382	. . . . . . 7 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x )
21		simpr 103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
22	21, 3	syl6eleq 2130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
23		eluzelz 8482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ZZ )
25		eluzp1m1 8496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
26	24, 25	sylan 267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
27		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) = ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) )
28		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( m + 1 ) = ( ( k - 1 ) + 1 ) )
29	28	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) = ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
30	27, 29	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) )
31	30	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
32	31	breq1d 3774	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
33	32	rspcv 2652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
34	26, 33	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
35		serif0.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
36	3, 1, 35	iserf 9233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq M ( + , F , CC ) : Z --> CC )
37	36	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> seq M ( + , F , CC ) : Z --> CC )
38	3	uztrn2 8490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. Z /\ ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
39	21, 38	sylan 267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
40	26, 39	syldan 266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
41	37, 40	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) e. CC )
42	3	uztrn2 8490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
43	9, 42	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
44	37, 43	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) e. CC )
45	41, 44	abssubd 9789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
46		eluzelz 8482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
47	46	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
48	47	zcnd 8361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. CC )
49		ax-1cn 6977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
50		npcan 7220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
51	48, 49, 50	sylancl 392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
52	51	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) )
53	52	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) )
54	53	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) )
55	1	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
56		eluzp1p1 8498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
57	22, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
58		eqid 2040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
59	58	uztrn2 8490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
60	57, 59	sylan 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
61		cnex 7005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC e. _V
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> CC e. _V )
63		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63, 3	syl6eleqr 2131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. Z )
65	35	ralrimiva 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
66	65	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
67		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
68	67	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` a ) e. CC ) )
69	68	rspcva 2654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. Z /\ A. k e. Z ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` a ) e. CC )
70	64, 66, 69	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` a ) e. CC )
71		addcl 7006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + b ) e. CC )
72	71	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( a e. CC /\ b e. CC ) ) -> ( a + b ) e. CC )
73	55, 60, 62, 70, 72	iseqm1 9227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) )
74	73	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) )
75	35	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
76	43, 75	syldan 266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
77	41, 76	pncan2d 7324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( F ` k ) )
78	74, 77	eqtr2d 2073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) )
79	78	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
80	45, 54, 79	3eqtr4d 2082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
81	80	breq1d 3774	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
82	34, 81	sylibd 138	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
83	82	ralrimdva 2399	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
84	20, 83	syl5 28	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
85		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) )
86	85	raleqdv 2511	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
87	86	rspcev 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
88	9, 84, 87	syl6an 1323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
89	88	rexlimdva 2433	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
90	89	ralimdv 2388	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
91	7, 90	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
92		serif0.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
93		eqidd 2041	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
94	3, 1, 92, 93, 35	clim0c 9807	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
95	91, 94	mpbird 156	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   class class class wbr 3764   dom cdm 4345   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   - cmin 7182   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   RR+crp 8583   seqcseq 9211   abscabs 9595   ~~> cli 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597  df-clim 9800

This theorem is referenced by: (None)