ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sbcabel Unicode version

Theorem sbcabel 2833
Description: Interchange class substitution and class abstraction. (Contributed by NM, 5-Nov-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
sbcabel.1  F/_
Assertion
Ref Expression
sbcabel  V  [.  ]. {  |  }  {  |  [.  ]. }
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)    V(,)

Proof of Theorem sbcabel
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . 2  V  _V
2 sbcexg 2807 . . . 4  _V  [.  ].  {  |  }  [.  ].  {  |  }
3 sbcang 2800 . . . . . 6  _V  [.  ].  {  |  }  [.  ].  {  |  }  [.  ].
4 sbcalg 2805 . . . . . . . . 9  _V  [.  ].  [.  ].
5 sbcbig 2803 . . . . . . . . . . 11  _V  [.  ].  [.  ].  [.  ].
6 sbcg 2821 . . . . . . . . . . . 12  _V  [.  ].
76bibi1d 222 . . . . . . . . . . 11  _V  [.  ].  [.  ].  [.  ].
85, 7bitrd 177 . . . . . . . . . 10  _V  [.  ].  [.  ].
98albidv 1702 . . . . . . . . 9  _V  [.  ].  [.  ].
104, 9bitrd 177 . . . . . . . 8  _V  [.  ].  [.  ].
11 abeq2 2143 . . . . . . . . 9  {  |  }
1211sbcbii 2812 . . . . . . . 8  [.  ].  {  |  } 
[.  ].
13 abeq2 2143 . . . . . . . 8  {  | 
[.  ]. }  [.  ].
1410, 12, 133bitr4g 212 . . . . . . 7  _V  [.  ].  {  |  }  {  |  [.  ]. }
15 sbcabel.1 . . . . . . . . 9  F/_
1615nfcri 2169 . . . . . . . 8  F/
1716sbcgf 2819 . . . . . . 7  _V  [.  ].
1814, 17anbi12d 442 . . . . . 6  _V  [.  ].  {  |  }  [.  ].  {  |  [.  ]. }
193, 18bitrd 177 . . . . 5  _V  [.  ].  {  |  }  {  |  [.  ]. }
2019exbidv 1703 . . . 4  _V  [.  ].  {  |  }  {  | 
[.  ]. }
212, 20bitrd 177 . . 3  _V  [.  ].  {  |  }  {  | 
[.  ]. }
22 df-clel 2033 . . . 4  {  |  }  {  |  }
2322sbcbii 2812 . . 3  [.  ]. {  |  } 
[.  ].  {  |  }
24 df-clel 2033 . . 3  {  |  [.  ]. }  {  | 
[.  ]. }
2521, 23, 243bitr4g 212 . 2  _V  [.  ]. {  |  }  {  |  [.  ]. }
261, 25syl 14 1  V  [.  ]. {  |  }  {  |  [.  ]. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023   F/_wnfc 2162   _Vcvv 2551   [.wsbc 2758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-sbc 2759
This theorem is referenced by:  csbexga  3876
  Copyright terms: Public domain W3C validator