Theorem rr19.28v 2683

Description: Restricted quantifier version of Theorem 19.28 of [Margaris] p. 90. (Contributed by NM, 29-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
rr19.28v	|- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) )

Distinct variable groups:   y, A   x, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   A( x)

Proof of Theorem rr19.28v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 102	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
2	1	ralimi 2384	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. y e. A ph )
3		biidd 161	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ph <-> ph ) )
4	3	rspcv 2652	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ph -> ph ) )
5	2, 4	syl5 28	. . . 4 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> ph ) )
6		simpr 103	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
7	6	ralimi 2384	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. y e. A ps )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. y e. A ps ) )
9	5, 8	jcad 291	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
10	9	ralimia 2382	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) )
11		r19.28av 2449	. . 3 |- ( ( ph /\ A. y e. A ps ) -> A. y e. A ( ph /\ ps ) )
12	11	ralimi 2384	. 2 |- ( A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) -> A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) )
13	10, 12	impbii 117	1 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   e. wcel 1393   A.wral 2306

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559

This theorem is referenced by: (None)