Theorem reuss2 3217

Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuss2	|- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> E! x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem reuss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2312	. . 3 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
2		df-reu 2313	. . 3 |- ( E! x e. B ps <-> E! x ( x e. B /\ ps ) )
3	1, 2	anbi12i 433	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ps ) ) )
4		df-ral 2311	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ph -> ps ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) )
5		ssel 2939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
6		prth 326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. A -> x e. B ) /\ ( ph -> ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) )
7	5, 6	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ B /\ ( ph -> ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) )
8	7	exp4b 349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B -> ( ( ph -> ps ) -> ( x e. A -> ( ph -> ( x e. B /\ ps ) ) ) ) )
9	8	com23 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ( x e. B /\ ps ) ) ) ) )
10	9	a2d 23	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> ( x e. A -> ( ph -> ( x e. B /\ ps ) ) ) ) )
11	10	imp4a 331	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) ) )
12	11	alimdv 1759	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) ) )
13	12	imp 115	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ B /\ A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) )
14	4, 13	sylan2b 271	. . . . . 6 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) )
15		euimmo 1967	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) -> ( E! x ( x e. B /\ ps ) -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) -> ( E! x ( x e. B /\ ps ) -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
17		eu5 1947	. . . . . 6 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
18	17	simplbi2 367	. . . . 5 |- ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( E* x ( x e. A /\ ph ) -> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
19	16, 18	syl9 66	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( E! x ( x e. B /\ ps ) -> E! x ( x e. A /\ ph ) ) ) )
20	19	imp32 244	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ps ) ) ) -> E! x ( x e. A /\ ph ) )
21		df-reu 2313	. . 3 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
22	20, 21	sylibr 137	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ps ) ) ) -> E! x e. A ph )
23	3, 22	sylan2b 271	1 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> E! x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   E.wex 1381   e. wcel 1393   E!weu 1900   E*wmo 1901   A.wral 2306   E.wrex 2307   E!wreu 2308   C_ wss 2917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-in 2924  df-ss 2931

This theorem is referenced by:  reuss  3218  reuun1  3219  riotass2  5494