Theorem resqrexlemlo 9611

Description: Lemma for resqrex 9624. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemlo	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemlo

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5520	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ 1 ) )
2	1	oveq2d 5528	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) )
3		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( F ` w ) = ( F ` 1 ) )
4	2, 3	breq12d 3777	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) ) )
5	4	imbi2d 219	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) ) ) )
6		oveq2 5520	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ k ) )
7	6	oveq2d 5528	. . . . 5 |- ( w = k -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
8		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
9	7, 8	breq12d 3777	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) )
10	9	imbi2d 219	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) ) )
11		oveq2 5520	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
12	11	oveq2d 5528	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	breq12d 3777	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 219	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
16		oveq2 5520	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ N ) )
17	16	oveq2d 5528	. . . . 5 |- ( w = N -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
18		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( w = N -> ( F ` w ) = ( F ` N ) )
19	17, 18	breq12d 3777	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) )
20	19	imbi2d 219	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) ) )
21		2cnd 7988	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
22	21	exp1d 9376	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
23		2rp 8588	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
24	22, 23	syl6eqel 2128	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) e. RR+ )
25	24	rprecred 8634	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) e. RR )
26		1red 7042	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
27		resqrexlemex.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
28	26, 27	readdcld 7055	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 + A ) e. RR )
29	22	oveq2d 5528	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) = ( 1 / 2 ) )
30		halflt1 8142	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) < 1
31	29, 30	syl6eqbr 3801	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < 1 )
32		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
33	26, 27	addge01d 7524	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ A <-> 1 <_ ( 1 + A ) ) )
34	32, 33	mpbid 135	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( 1 + A ) )
35	25, 26, 28, 31, 34	ltletrd 7420	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( 1 + A ) )
36		resqrexlemex.seq	. . . . 5 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
37	36, 27, 32	resqrexlemf1 9606	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( 1 + A ) )
38	35, 37	breqtrrd 3790	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) )
39	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 e. RR+ )
40		nnz 8264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
41	40	ad2antlr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> k e. ZZ )
42	39, 41	rpexpcld 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
43	42	rpcnd 8624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
44		2cnd 7988	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 e. CC )
45	42	rpap0d 8628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
46	39	rpap0d 8628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 # 0 )
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 7783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) ) )
48		nnnn0 8188	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
49	48	ad2antlr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> k e. NN0 )
50	44, 49	expp1d 9382	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) = ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) )
51	50	oveq2d 5528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) ) )
52	47, 51	eqtr4d 2075	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) = ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
53	42	rprecred 8634	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
54	36, 27, 32	resqrexlemf 9605	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
55	54	ffvelrnda 5302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
56	55	rpred 8622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
57	56	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
58	27	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
59	58, 55	rerpdivcld 8654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A / ( F ` k ) ) e. RR )
60	59	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( A / ( F ` k ) ) e. RR )
61	57, 60	readdcld 7055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) e. RR )
62		simpr 103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) )
63	32	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ A )
64	58, 55, 63	divge0d 8663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( A / ( F ` k ) ) )
65	56, 59	addge01d 7524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 0 <_ ( A / ( F ` k ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) ) )
66	64, 65	mpbid 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
67	66	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
68	53, 57, 61, 62, 67	ltletrd 7420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
69	53, 61, 39, 68	ltdiv1dd 8680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) < ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
70	36, 27, 32	resqrexlemfp1 9607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
71	70	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
72	69, 71	breqtrrd 3790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
73	52, 72	eqbrtrrd 3786	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
74	73	ex 108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
75	74	expcom 109	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
76	75	a2d 23	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
77	5, 10, 15, 20, 38, 76	nnind 7930	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) )
78	77	impcom 116	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   {csn 3375   class class class wbr 3764   X. cxp 4343   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   |-> cmpt2 5514   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   x. cmul 6894   < clt 7060   <_ cle 7061   / cdiv 7651   NNcn 7914   2c2 7964   NN0cn0 8181   ZZcz 8245   RR+crp 8583   seqcseq 9211   ^cexp 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  9616