Theorem resqrexlemglsq 9620

Description: Lemma for resqrex 9624. The sequence formed by squaring each term of F converges to ( L ^ 2 ). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemsqa.g	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemglsq	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F, j, k, i, y, z   x, F, k   e, L, j, k, i, y, z   ph, e, i, j, k, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, e, i, j, k)   G( x, y, z, e, i, j, k)   L( x)

Proof of Theorem resqrexlemglsq

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 103	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
2		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
3		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
4		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
5	2, 3, 4	resqrexlemf 9605	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
6	5	adantr 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> F : NN --> RR+ )
7		1nn 7925	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
8	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. NN )
9	6, 8	ffvelrnd 5303	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
10	9	rpred 8622	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR )
11		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. RR )
12	11	adantr 261	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> L e. RR )
13	10, 12	readdcld 7055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR )
14	9	rpgt0d 8625	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 < ( F ` 1 ) )
15		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
16	2, 3, 4, 11, 15	resqrexlemgt0 9618	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ L )
17	16	adantr 261	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 <_ L )
18		addgtge0 7445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` 1 ) e. RR /\ L e. RR ) /\ ( 0 < ( F ` 1 ) /\ 0 <_ L ) ) -> 0 < ( ( F ` 1 ) + L ) )
19	10, 12, 14, 17, 18	syl22anc 1136	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 < ( ( F ` 1 ) + L ) )
20	13, 19	elrpd 8620	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR+ )
21	1, 20	rpdivcld 8640	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ )
22		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
23	22	breq1d 3774	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` k ) < ( L + e ) ) )
24	22	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` k ) + e ) )
25	24	breq2d 3776	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
26	23, 25	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) ) )
27	26	cbvralv 2533	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
28	27	rexbii 2331	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
29	28	ralbii 2330	. . . . . . 7 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
30	15, 29	sylib 127	. . . . . 6 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
31		oveq2 5520	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( L + e ) = ( L + f ) )
32	31	breq2d 3776	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( ( F ` k ) < ( L + e ) <-> ( F ` k ) < ( L + f ) ) )
33		oveq2 5520	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( ( F ` k ) + e ) = ( ( F ` k ) + f ) )
34	33	breq2d 3776	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( L < ( ( F ` k ) + e ) <-> L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
35	32, 34	anbi12d 442	. . . . . . . 8 |- ( e = f -> ( ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) ) )
36	35	rexralbidv 2350	. . . . . . 7 |- ( e = f -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) ) )
37	36	cbvralv 2533	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
38	30, 37	sylib 127	. . . . 5 |- ( ph -> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
39	38	adantr 261	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
40		oveq2 5520	. . . . . . . 8 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( L + f ) = ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
41	40	breq2d 3776	. . . . . . 7 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) < ( L + f ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
42		oveq2 5520	. . . . . . . 8 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) + f ) = ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
43	42	breq2d 3776	. . . . . . 7 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( L < ( ( F ` k ) + f ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
44	41, 43	anbi12d 442	. . . . . 6 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
45	44	rexralbidv 2350	. . . . 5 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
46	45	rspcv 2652	. . . 4 |- ( ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ -> ( A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
47	21, 39, 46	sylc 56	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
48		simpllr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> j e. NN )
49		simplr 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
50		eluznn 8538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
51	48, 49, 50	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> k e. NN )
52	6	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR+ )
53	52, 51	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
54		2z 8273	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
55	54	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 2 e. ZZ )
56	53, 55	rpexpcld 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ )
57		fveq2 5178	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
58	57	oveq1d 5527	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
59		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
60	58, 59	fvmptg 5248	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
61	51, 56, 60	syl2anc 391	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
62	53	rpred 8622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
63	62	recnd 7054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
64	12	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L e. RR )
65	64	recnd 7054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L e. CC )
66		subsq 9358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
67	63, 65, 66	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
68	62, 64	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) e. RR )
69	62, 64	resubcld 7379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) - L ) e. RR )
70	68, 69	remulcld 7056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) e. RR )
71	13	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR )
72	71, 69	remulcld 7056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) e. RR )
73	1	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> e e. RR+ )
74	73	rpred 8622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> e e. RR )
75	3	ad4antr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> A e. RR )
76	4	ad4antr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ A )
77	15	ad4antr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
78	2, 75, 76, 64, 77, 51	resqrexlemoverl 9619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L <_ ( F ` k ) )
79	62, 64	subge0d 7526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` k ) - L ) <-> L <_ ( F ` k ) ) )
80	78, 79	mpbird 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( F ` k ) - L ) )
81		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
82	81	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) + L ) = ( ( F ` 1 ) + L ) )
83		eqle 7109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` k ) + L ) e. RR /\ ( ( F ` k ) + L ) = ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
84	68, 82, 83	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ k = 1 ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
85	62	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) e. RR )
86	10	ad4antr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` 1 ) e. RR )
87	64	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> L e. RR )
88	3	ad5antr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> A e. RR )
89	4	ad5antr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 0 <_ A )
90	7	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 1 e. NN )
91	51	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> k e. NN )
92		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 1 < k )
93	2, 88, 89, 90, 91, 92	resqrexlemdecn 9610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) < ( F ` 1 ) )
94	85, 86, 93	ltled 7135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` 1 ) )
95	85, 86, 87, 94	leadd1dd 7550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
96		nn1gt1 7947	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k = 1 \/ 1 < k ) )
97	51, 96	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( k = 1 \/ 1 < k ) )
98	84, 95, 97	mpjaodan 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
99	68, 71, 69, 80, 98	lemul1ad 7905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) <_ ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
100		simprl 483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
101	21	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ )
102	101	rpred 8622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR )
103	62, 64, 102	ltsubadd2d 7534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
104	100, 103	mpbird 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) )
105	20	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR+ )
106	69, 74, 105	ltmuldiv2d 8671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e <-> ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
107	104, 106	mpbird 156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e )
108	70, 72, 74, 99, 107	lelttrd 7139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e )
109	67, 108	eqbrtrd 3784	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) < e )
110	62	resqcld 9406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
111	64	resqcld 9406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) e. RR )
112	110, 111, 74	ltsubadd2d 7534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) < e <-> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) ) )
113	109, 112	mpbid 135	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) )
114	61, 113	eqbrtrd 3784	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) )
115	61, 110	eqeltrd 2114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
116	115, 74	readdcld 7055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) + e ) e. RR )
117	17	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ L )
118		le2sq2 9329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. RR /\ 0 <_ L ) /\ ( ( F ` k ) e. RR /\ L <_ ( F ` k ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
119	64, 117, 62, 78, 118	syl22anc 1136	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
120	119, 61	breqtrrd 3790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( G ` k ) )
121	115, 73	ltaddrpd 8656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` k ) + e ) )
122	111, 115, 116, 120, 121	lelttrd 7139	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) )
123	114, 122	jca 290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )
124	123	ex 108	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
125	124	ralimdva 2387	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
126	125	reximdva 2421	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
127	47, 126	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )
128	127	ralrimiva 2392	1 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   {csn 3375   class class class wbr 3764   |-> cmpt 3818   X. cxp 4343   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   |-> cmpt2 5514   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   x. cmul 6894   < clt 7060   <_ cle 7061   - cmin 7182   / cdiv 7651   NNcn 7914   2c2 7964   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   RR+crp 8583   seqcseq 9211   ^cexp 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  9622