Theorem resqrexlemdecn 9610

Description: Lemma for resqrex 9624. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemdecn.n	|- ( ph -> N e. NN )
resqrexlemdecn.m	|- ( ph -> M e. NN )
resqrexlemdecn.nm	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdecn	|- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   M( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdecn

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemdecn.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnzd 8359	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	2	peano2zd 8363	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		resqrexlemdecn.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
5	4	nnzd 8359	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		resqrexlemdecn.nm	. . . 4 |- ( ph -> N < M )
7		nnltp1le 8304	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N < M <-> ( N + 1 ) <_ M ) )
8	1, 4, 7	syl2anc 391	. . . 4 |- ( ph -> ( N < M <-> ( N + 1 ) <_ M ) )
9	6, 8	mpbid 135	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) <_ M )
10		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( N + 1 ) ) )
11	10	breq1d 3774	. . . . 5 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
12	11	imbi2d 219	. . . 4 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
13		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
14	13	breq1d 3774	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) )
15	14	imbi2d 219	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) ) )
16		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
17	16	breq1d 3774	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
18	17	imbi2d 219	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
19		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( F ` w ) = ( F ` M ) )
20	19	breq1d 3774	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
21	20	imbi2d 219	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) ) )
22		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
23		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
24		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
25	22, 23, 24	resqrexlemdec 9609	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )
26	1, 25	mpdan 398	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )
27	26	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
28	22, 23, 24	resqrexlemf 9605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
29	28	ad2antrr 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> F : NN --> RR+ )
30		simplr2 947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. ZZ )
31		1red 7042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 e. RR )
32	3	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
33	32	zred 8360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
34	30	zred 8360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. RR )
35	1	nnred 7927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR )
36	1	nngt0d 7957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < N )
37		0re 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
38		ltle 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
39	37, 38	mpan 400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
40	35, 36, 39	sylc 56	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ N )
41		1red 7042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
42	41, 35	addge02d 7525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 <_ N <-> 1 <_ ( N + 1 ) ) )
43	40, 42	mpbid 135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( N + 1 ) )
44	43	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 <_ ( N + 1 ) )
45		simplr3 948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) <_ k )
46	31, 33, 34, 44, 45	letrd 7138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 <_ k )
47		elnnz1 8268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k ) )
48	30, 46, 47	sylanbrc 394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. NN )
49	48	peano2nnd 7929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
50	29, 49	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR+ )
51	50	rpred 8622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
52	29, 48	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
53	52	rpred 8622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
54	1	ad2antrr 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> N e. NN )
55	29, 54	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
56	55	rpred 8622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` N ) e. RR )
57		simpll 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ph )
58	22, 23, 24	resqrexlemdec 9609	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) )
59	57, 48, 58	syl2anc 391	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) )
60		simpr 103	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` N ) )
61	51, 53, 56, 59, 60	lttrd 7140	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) )
62	61	ex 108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) -> ( ( F ` k ) < ( F ` N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
63	62	expcom 109	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) -> ( ph -> ( ( F ` k ) < ( F ` N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
64	63	a2d 23	. . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
65	12, 15, 18, 21, 27, 64	uzind 8349	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ M ) -> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
66	3, 5, 9, 65	syl3anc 1135	. 2 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
67	66	pm2.43i 43	1 |- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   {csn 3375   class class class wbr 3764   X. cxp 4343   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   |-> cmpt2 5514   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   <_ cle 7061   / cdiv 7651   NNcn 7914   2c2 7964   ZZcz 8245   RR+crp 8583   seqcseq 9211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  9616  resqrexlemcvg  9617  resqrexlemoverl  9619  resqrexlemglsq  9620