ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resasplitss Unicode version

Theorem resasplitss 5012
Description: If two functions agree on their common domain, their union contains a union of three functions with pairwise disjoint domains. If we assumed the law of the excluded middle, this would be equality rather than subset. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
resasplitss  F  Fn  G  Fn  F  |`  i^i  G  |`  i^i  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  G  |`  \ 
C_  F  u.  G

Proof of Theorem resasplitss
StepHypRef Expression
1 unidm 3080 . . . 4  F  |`  i^i  u.  F  |`  i^i  F  |`  i^i
21uneq1i 3087 . . 3  F  |`  i^i  u.  F  |`  i^i  u.  F  |` 
\  u.  G  |`  \  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  G  |`  \
3 un4 3097 . . . 4  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  F  |`  i^i  u.  G  |`  \  F  |`  i^i  u.  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  G  |`  \
4 simp3 905 . . . . . . 7  F  Fn  G  Fn  F  |`  i^i  G  |`  i^i  F  |`  i^i  G  |`  i^i
54uneq1d 3090 . . . . . 6  F  Fn  G  Fn  F  |`  i^i  G  |`  i^i  F  |`  i^i  u.  G  |`  \  G  |`  i^i  u.  G  |`  \
65uneq2d 3091 . . . . 5  F  Fn  G  Fn  F  |`  i^i  G  |`  i^i  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  F  |`  i^i  u.  G  |`  \  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  G  |`  i^i  u.  G  |`  \
7 resundi 4568 . . . . . . 7  F  |`  i^i  u. 
\  F  |`  i^i  u.  F  |`  \
8 inundifss 3295 . . . . . . . 8  i^i  u.  \  C_
9 ssres2 4581 . . . . . . . 8  i^i  u.  \  C_  F  |`  i^i  u.  \  C_  F  |`
108, 9ax-mp 7 . . . . . . 7  F  |`  i^i  u. 
\  C_  F  |`
117, 10eqsstr3i 2970 . . . . . 6  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  C_  F  |`
12 resundi 4568 . . . . . . 7  G  |`  i^i  u. 
\  G  |`  i^i  u.  G  |`  \
13 incom 3123 . . . . . . . . . 10  i^i  i^i
1413uneq1i 3087 . . . . . . . . 9  i^i  u.  \  i^i  u.  \
15 inundifss 3295 . . . . . . . . 9  i^i  u.  \  C_
1614, 15eqsstri 2969 . . . . . . . 8  i^i  u.  \  C_
17 ssres2 4581 . . . . . . . 8  i^i  u.  \  C_  G  |`  i^i  u.  \  C_  G  |`
1816, 17ax-mp 7 . . . . . . 7  G  |`  i^i  u. 
\  C_  G  |`
1912, 18eqsstr3i 2970 . . . . . 6  G  |`  i^i  u.  G  |`  \  C_  G  |`
20 unss12 3109 . . . . . 6  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  C_  F  |`  G  |`  i^i  u.  G  |`  \  C_  G  |`  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  G  |`  i^i  u.  G  |`  \  C_  F  |`  u.  G  |`
2111, 19, 20mp2an 402 . . . . 5  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  G  |`  i^i  u.  G  |`  \  C_  F  |`  u.  G  |`
226, 21syl6eqss 2989 . . . 4  F  Fn  G  Fn  F  |`  i^i  G  |`  i^i  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  F  |`  i^i  u.  G  |`  \  C_  F  |`  u.  G  |`
233, 22syl5eqssr 2984 . . 3  F  Fn  G  Fn  F  |`  i^i  G  |`  i^i  F  |`  i^i  u.  F  |`  i^i  u.  F  |` 
\  u.  G  |`  \  C_  F  |`  u.  G  |`
242, 23syl5eqssr 2984 . 2  F  Fn  G  Fn  F  |`  i^i  G  |`  i^i  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  G  |`  \ 
C_  F  |`  u.  G  |`
25 fnresdm 4951 . . . 4  F  Fn  F  |`  F
26 fnresdm 4951 . . . 4  G  Fn  G  |`  G
27 uneq12 3086 . . . 4  F  |`  F  G  |`  G  F  |`  u.  G  |`  F  u.  G
2825, 26, 27syl2an 273 . . 3  F  Fn  G  Fn  F  |`  u.  G  |`  F  u.  G
29283adant3 923 . 2  F  Fn  G  Fn  F  |`  i^i  G  |`  i^i  F  |`  u.  G  |`  F  u.  G
3024, 29sseqtrd 2975 1  F  Fn  G  Fn  F  |`  i^i  G  |`  i^i  F  |`  i^i  u.  F  |`  \  u.  G  |`  \ 
C_  F  u.  G
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   w3a 884   wceq 1242    \ cdif 2908    u. cun 2909    i^i cin 2910    C_ wss 2911    |` cres 4290    Fn wfn 4840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-dm 4298  df-res 4300  df-fun 4847  df-fn 4848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator