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Theorem resasplitss 5056
Description: If two functions agree on their common domain, their union contains a union of three functions with pairwise disjoint domains. If we assumed the law of the excluded middle, this would be equality rather than subset. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
resasplitss  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  C_  ( F  u.  G ) )

Proof of Theorem resasplitss
StepHypRef Expression
1 unidm 3083 . . . 4  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( F  |`  ( A  i^i  B
) )
21uneq1i 3090 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )
3 un4 3100 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) )
4 simp3 906 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )
54uneq1d 3093 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )
65uneq2d 3094 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
7 resundi 4612 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )
8 inundifss 3298 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  C_  A
9 ssres2 4625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  A  ->  ( F  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B
) ) )  C_  ( F  |`  A ) )
108, 9ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) )  C_  ( F  |`  A )
117, 10eqsstr3i 2973 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  C_  ( F  |`  A )
12 resundi 4612 . . . . . . 7  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
13 incom 3126 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
1413uneq1i 3090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B 
\  A ) )
15 inundifss 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B  \  A ) )  C_  B
1614, 15eqsstri 2972 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  C_  B
17 ssres2 4625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  ( B 
\  A ) ) 
C_  B  ->  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  C_  ( G  |`  B ) )
1816, 17ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  C_  ( G  |`  B )
1912, 18eqsstr3i 2973 . . . . . 6  |-  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  C_  ( G  |`  B )
20 unss12 3112 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  C_  ( F  |`  A )  /\  ( ( G  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) 
C_  ( G  |`  B ) )  -> 
( ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  ( ( G  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  C_  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) ) )
2111, 19, 20mp2an 402 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  (
( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  C_  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )
226, 21syl6eqss 2992 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) ) 
C_  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) ) )
233, 22syl5eqssr 2987 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B
) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) ) 
C_  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) ) )
242, 23syl5eqssr 2987 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  C_  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) ) )
25 fnresdm 4995 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
26 fnresdm 4995 . . . 4  |-  ( G  Fn  B  ->  ( G  |`  B )  =  G )
27 uneq12 3089 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A )  =  F  /\  ( G  |`  B )  =  G )  ->  (
( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( F  u.  G
) )
2825, 26, 27syl2an 273 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B )  ->  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( F  u.  G ) )
29283adant3 924 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( F  u.  G
) )
3024, 29sseqtrd 2978 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  C_  ( F  u.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 885    = wceq 1243    \ cdif 2911    u. cun 2912    i^i cin 2913    C_ wss 2914    |` cres 4334    Fn wfn 4884
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-br 3762  df-opab 3816  df-xp 4338  df-rel 4339  df-dm 4342  df-res 4344  df-fun 4891  df-fn 4892
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