Theorem relssdv 4432

Description: Deduction from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 11-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
relssdv.1	|- ( ph -> Rel A )
relssdv.2	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
relssdv	|- ( ph -> A C_ B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem relssdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssdv.2	. . 3 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1755	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
3		relssdv.1	. . 3 |- ( ph -> Rel A )
4		ssrel 4428	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
6	2, 5	mpbird 156	1 |- ( ph -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   A.wal 1241   e. wcel 1393   C_ wss 2917   <.cop 3378   Rel wrel 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352

This theorem is referenced by:  relssres  4648  poirr2  4717  relssdmrn  4841