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Theorem recvguniq 9593
Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniq.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
recvguniq.lre  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
recvguniq.l  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
recvguniq.mre  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
recvguniq.m  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
recvguniq  |-  ( ph  ->  L  =  M )
Distinct variable groups:    j, F, x   
j, L, k, x   
j, M, k, x    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, j)    F( k)

Proof of Theorem recvguniq
StepHypRef Expression
1 recvguniq.lre . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
2 recvguniq.mre . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3 reaplt 7579 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L #  M  <->  ( L  <  M  \/  M  < 
L ) ) )
41, 2, 3syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L #  M  <->  ( L  <  M  \/  M  < 
L ) ) )
5 simpr 103 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  <  M )
61adantr 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  RR )
72adantr 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  RR )
8 difrp 8619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <  M  <->  ( M  -  L )  e.  RR+ ) )
96, 7, 8syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  <  M  <->  ( M  -  L )  e.  RR+ ) )
105, 9mpbid 135 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  -  L )  e.  RR+ )
1110rphalfcld 8635 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( M  -  L )  /  2 )  e.  RR+ )
12 recvguniq.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
13 recvguniq.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
14 r19.26 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
1512, 13, 14sylanbrc 394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
16 nnuz 8508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1716rexanuz2 9589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
1817ralbii 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
1915, 18sylibr 137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2016r19.2uz 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2120ralimi 2384 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2219, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( M  +  x
)  /\  M  <  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) )
2322adantr 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
24 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( L  +  x )  =  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
2524breq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
26 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
2726breq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
2825, 27anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) )
29 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( M  +  x )  =  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
3029breq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
3126breq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( M  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
3230, 31anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) )
3328, 32anbi12d 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( (
( F `  k
)  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  L  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) ) )
3433rexbidv 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )
3534rspcv 2652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  -  L
)  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )
3611, 23, 35sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )
37 recvguniq.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
3837ad2antrr 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR )
392ad2antrr 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
401ad2antrr 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
41 simprl 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
42 simprrr 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )  ->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) )
4342adantl 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )
44 simprll 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) )
4544adantl 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )
4638, 39, 40, 41, 43, 45recvguniqlem 9592 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  -> F.  )
4736, 46rexlimddv 2437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  -> F.  )
4847ex 108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  <  M  -> F.  ) )
49 difrp 8619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  <  L  <->  ( L  -  M )  e.  RR+ ) )
502, 1, 49syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  <  L  <->  ( L  -  M )  e.  RR+ ) )
5150biimpa 280 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  ( L  -  M )  e.  RR+ )
5251rphalfcld 8635 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  ( ( L  -  M )  /  2 )  e.  RR+ )
5322adantr 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
54 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( L  +  x )  =  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
5554breq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
56 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
5756breq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5855, 57anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) )
59 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( M  +  x )  =  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
6059breq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
6156breq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( M  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  M  <  ( ( F `  k
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6260, 61anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) )
6358, 62anbi12d 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
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) ) )  <->  ( (
( F `  k
)  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  L  <  ( ( F `
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) ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
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6463rexbidv 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
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) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
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) ) ) ) ) )
6564rspcv 2652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  -  M
)  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
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) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
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) ) ) ) ) )
6652, 53, 65sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )
6737ad2antrr 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
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2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR )
681ad2antrr 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
692ad2antrr 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
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) ) ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
70 simprl 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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( F `  k
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) ) ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
71 simprlr 490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
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 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )  ->  L  <  ( ( F `  k
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7271adantl 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
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 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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( F `  k
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 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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73 simprrl 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) )
7473adantl 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M
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7567, 68, 69, 70, 72, 74recvguniqlem 9592 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  -> F.  )
7666, 75rexlimddv 2437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  -> F.  )
7776ex 108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  <  L  -> F.  ) )
7848, 77jaod 637 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( L  < 
M  \/  M  < 
L )  -> F.  ) )
794, 78sylbid 139 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L #  M  -> F.  ) )
80 dfnot 1262 . . 3  |-  ( -.  L #  M  <->  ( L #  M  -> F.  ) )
8179, 80sylibr 137 . 2  |-  ( ph  ->  -.  L #  M )
821recnd 7054 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
832recnd 7054 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
84 apti 7613 . . 3  |-  ( ( L  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( L  =  M  <->  -.  L #  M )
)
8582, 83, 84syl2anc 391 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  =  M  <->  -.  L #  M )
)
8681, 85mpbird 156 1  |-  ( ph  ->  L  =  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    \/ wo 629    = wceq 1243   F. wfal 1248    e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   class class class wbr 3764   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   1c1 6890    + caddc 6892    < clt 7060    - cmin 7182   # cap 7572    / cdiv 7651   NNcn 7914   2c2 7964   ZZ>=cuz 8473   RR+crp 8583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  9622
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