ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recextlem1 Unicode version

Theorem recextlem1 7414
Description: Lemma for recexap 7416. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
recextlem1  CC  CC  +  _i  x.  x.  -  _i  x.  x.  +  x.

Proof of Theorem recextlem1
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . 3  CC  CC  CC
2 ax-icn 6778 . . . . 5  _i  CC
3 mulcl 6806 . . . . 5  _i  CC  CC  _i  x.  CC
42, 3mpan 400 . . . 4  CC  _i  x.  CC
54adantl 262 . . 3  CC  CC  _i  x.  CC
6 subcl 7007 . . . 4  CC  _i  x.  CC  -  _i  x.  CC
74, 6sylan2 270 . . 3  CC  CC  -  _i  x.  CC
81, 5, 7adddird 6850 . 2  CC  CC  +  _i  x.  x.  -  _i  x.  x.  -  _i  x.  +  _i  x.  x.  -  _i  x.
91, 1, 5subdid 7207 . . 3  CC  CC  x.  -  _i  x.  x.  -  x.  _i  x.
105, 1, 5subdid 7207 . . . 4  CC  CC  _i  x.  x.  -  _i  x.  _i  x.  x.  -  _i  x.  x.  _i  x.
11 mulcom 6808 . . . . . 6  CC  _i  x.  CC  x.  _i  x.  _i  x.  x.
124, 11sylan2 270 . . . . 5  CC  CC  x.  _i  x.  _i  x.  x.
13 ixi 7367 . . . . . . . . . 10  _i  x.  _i  -u 1
1413oveq1i 5465 . . . . . . . . 9  _i  x.  _i  x.  x. 
-u 1  x.  x.
15 mulcl 6806 . . . . . . . . . 10  CC  CC  x.  CC
1615mulm1d 7203 . . . . . . . . 9  CC  CC  -u 1  x.  x.  -u  x.
1714, 16syl5req 2082 . . . . . . . 8  CC  CC  -u  x.  _i  x.  _i  x.  x.
18 mul4 6942 . . . . . . . . 9  _i  CC  _i  CC  CC  CC  _i  x.  _i  x.  x.  _i  x.  x.  _i  x.
192, 2, 18mpanl12 412 . . . . . . . 8  CC  CC  _i  x.  _i  x.  x.  _i  x.  x.  _i  x.
2017, 19eqtrd 2069 . . . . . . 7  CC  CC  -u  x.  _i  x.  x.  _i  x.
2120anidms 377 . . . . . 6  CC  -u  x.  _i  x.  x.  _i  x.
2221adantl 262 . . . . 5  CC  CC  -u  x.  _i  x.  x.  _i  x.
2312, 22oveq12d 5473 . . . 4  CC  CC  x.  _i  x.  -  -u  x.  _i  x.  x.  -  _i  x.  x.  _i  x.
2410, 23eqtr4d 2072 . . 3  CC  CC  _i  x.  x.  -  _i  x.  x.  _i  x.  -  -u  x.
259, 24oveq12d 5473 . 2  CC  CC  x.  -  _i  x.  +  _i  x.  x.  -  _i  x.  x.  -  x.  _i  x.  +  x.  _i  x.  -  -u  x.
26 mulcl 6806 . . . . . 6  CC  CC  x.  CC
2726anidms 377 . . . . 5  CC  x.  CC
2827adantr 261 . . . 4  CC  CC  x.  CC
29 mulcl 6806 . . . . 5  CC  _i  x.  CC  x.  _i  x.  CC
304, 29sylan2 270 . . . 4  CC  CC  x.  _i  x.  CC
3115negcld 7105 . . . . . 6  CC  CC  -u  x.  CC
3231anidms 377 . . . . 5  CC  -u  x.  CC
3332adantl 262 . . . 4  CC  CC  -u  x.  CC
3428, 30, 33npncand 7142 . . 3  CC  CC  x.  -  x.  _i  x.  +  x.  _i  x.  -  -u  x.  x.  -  -u  x.
3515anidms 377 . . . 4  CC  x.  CC
36 subneg 7056 . . . 4  x.  CC  x.  CC  x.  -  -u  x.  x.  +  x.
3727, 35, 36syl2an 273 . . 3  CC  CC  x.  -  -u  x.  x.  +  x.
3834, 37eqtrd 2069 . 2  CC  CC  x.  -  x.  _i  x.  +  x.  _i  x.  -  -u  x.  x.  +  x.
398, 25, 383eqtrd 2073 1  CC  CC  +  _i  x.  x.  -  _i  x.  x.  +  x.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455   CCcc 6709   1c1 6712   _ici 6713    + caddc 6714    x. cmul 6716    - cmin 6979   -ucneg 6980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-neg 6982
This theorem is referenced by:  recexap  7416
  Copyright terms: Public domain W3C validator