Theorem recexprlemopu 6599

Description: The upper cut of B is open. Lemma for recexpr 6610. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. {x | E.y(x <Q y /\ ( *Q ` y) e. ( 2nd ` A)) } , {x | E.y(y <Q x /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlemopu	|- ((A e. P. /\ r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` B)) -> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B)))

Distinct variable groups:   r, q,x,y,A   B, q, r,x,y

Proof of Theorem recexprlemopu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexpr.1	. . . 4 |- B = <. {x | E.y(x <Q y /\ ( *Q ` y) e. ( 2nd ` A)) } , {x | E.y(y <Q x /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)) } >.
2	1	recexprlemelu 6595	. . 3 |- ( r e. ( 2nd ` B) <-> E.y(y <Q r /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)))
3		ltbtwnnqq 6398	. . . . . 6 |- (y <Q r <-> E. q e. Q. (y <Q q /\ q <Q r))
4	3	biimpi 113	. . . . 5 |- (y <Q r -> E. q e. Q. (y <Q q /\ q <Q r))
5		simplr 482	. . . . . . . 8 |- (((y <Q q /\ q <Q r) /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)) -> q <Q r)
6		19.8a 1479	. . . . . . . . . 10 |- ((y <Q q /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)) -> E.y(y <Q q /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)))
7	1	recexprlemelu 6595	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( 2nd ` B) <-> E.y(y <Q q /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)))
8	6, 7	sylibr 137	. . . . . . . . 9 |- ((y <Q q /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)) -> q e. ( 2nd ` B))
9	8	adantlr 446	. . . . . . . 8 |- (((y <Q q /\ q <Q r) /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)) -> q e. ( 2nd ` B))
10	5, 9	jca 290	. . . . . . 7 |- (((y <Q q /\ q <Q r) /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)) -> ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B)))
11	10	expcom 109	. . . . . 6 |- (( *Q ` y) e. ( 1st ` A) -> ((y <Q q /\ q <Q r) -> ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B))))
12	11	reximdv 2414	. . . . 5 |- (( *Q ` y) e. ( 1st ` A) -> (E. q e. Q. (y <Q q /\ q <Q r) -> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B))))
13	4, 12	mpan9 265	. . . 4 |- ((y <Q r /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)) -> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B)))
14	13	exlimiv 1486	. . 3 |- (E.y(y <Q r /\ ( *Q ` y) e. ( 1st ` A)) -> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B)))
15	2, 14	sylbi 114	. 2 |- ( r e. ( 2nd ` B) -> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B)))
16	15	3ad2ant3 926	1 |- ((A e. P. /\ r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` B)) -> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 884   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   {cab 2023  E.wrex 2301   <.cop 3370   class class class wbr 3755   ` cfv 4845   1stc1st 5707   2ndc2nd 5708   Q.cnq 6264   *Qcrq 6268   <Q cltq 6269   P.cnp 6275

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337

This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  6601