Theorem rdgtfr 5901

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgtfr	|- ((A.z( F ` z) e. _V /\ A e. V) -> ( Fun (g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) /\ ((g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) ` f) e. _V))

Distinct variable groups:   A,g   x,g,z, F

Allowed substitution hints:   A(x,z,f)   F(f)   V(x,z,f,g)

Proof of Theorem rdgtfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2560	. 2 |- (A e. V -> A e. _V)
2		funmpt 4881	. . . 4 |- Fun (g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x))))
3		vex 2554	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2554	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
5	4	dmex 4541	. . . . . . . . . 10 |- dom g e. _V
6		vex 2554	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
7	4, 6	fvex 5138	. . . . . . . . . . . 12 |- (g ` x) e. _V
8		fveq2 5121	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (g ` x) -> ( F ` z) = ( F ` (g ` x)))
9	8	eleq1d 2103	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (g ` x) -> (( F ` z) e. _V <-> ( F ` (g ` x)) e. _V))
10	7, 9	spcv 2640	. . . . . . . . . . 11 |- (A.z( F ` z) e. _V -> ( F ` (g ` x)) e. _V)
11	10	ralrimivw 2387	. . . . . . . . . 10 |- (A.z( F ` z) e. _V -> A.x e. dom g( F ` (g ` x)) e. _V)
12		iunexg 5688	. . . . . . . . . 10 |- (( dom g e. _V /\ A.x e. dom g( F ` (g ` x)) e. _V) -> U_x e. dom g( F ` (g ` x)) e. _V)
13	5, 11, 12	sylancr 393	. . . . . . . . 9 |- (A.z( F ` z) e. _V -> U_x e. dom g( F ` (g ` x)) e. _V)
14		unexg 4144	. . . . . . . . 9 |- ((A e. _V /\ U_x e. dom g( F ` (g ` x)) e. _V) -> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x))) e. _V)
15	13, 14	sylan2 270	. . . . . . . 8 |- ((A e. _V /\ A.z( F ` z) e. _V) -> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x))) e. _V)
16	15	ancoms 255	. . . . . . 7 |- ((A.z( F ` z) e. _V /\ A e. _V) -> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x))) e. _V)
17	16	ralrimivw 2387	. . . . . 6 |- ((A.z( F ` z) e. _V /\ A e. _V) -> A.g e. _V (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x))) e. _V)
18		dmmptg 4761	. . . . . 6 |- (A.g e. _V (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x))) e. _V -> dom (g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) = _V)
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 |- ((A.z( F ` z) e. _V /\ A e. _V) -> dom (g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) = _V)
20	3, 19	syl5eleqr 2124	. . . 4 |- ((A.z( F ` z) e. _V /\ A e. _V) -> f e. dom (g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))))
21		funfvex 5135	. . . 4 |- (( Fun (g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) /\ f e. dom (g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x))))) -> ((g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) ` f) e. _V)
22	2, 20, 21	sylancr 393	. . 3 |- ((A.z( F ` z) e. _V /\ A e. _V) -> ((g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) ` f) e. _V)
23	22, 2	jctil 295	. 2 |- ((A.z( F ` z) e. _V /\ A e. _V) -> ( Fun (g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) /\ ((g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) ` f) e. _V))
24	1, 23	sylan2 270	1 |- ((A.z( F ` z) e. _V /\ A e. V) -> ( Fun (g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) /\ ((g e. _V |-> (A u. U_x e. dom g( F ` (g ` x)))) ` f) e. _V))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97  A.wal 1240   = wceq 1242   e. wcel 1390  A.wral 2300   _Vcvv 2551   u. cun 2909   U_ciun 3648   |-> cmpt 3809   dom cdm 4288   Fun wfun 4839   ` cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  rdgifnon2  5907