Theorem rdgtfr 5961

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgtfr	|- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Distinct variable groups:   A, g   x, g, z, F

Allowed substitution hints:   A( x, z, f)   F( f)   V( x, z, f, g)

Proof of Theorem rdgtfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2566	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		funmpt 4938	. . . 4 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3		vex 2560	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2560	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
5	4	dmex 4598	. . . . . . . . . 10 |- dom g e. _V
6		vex 2560	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
7	4, 6	fvex 5195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) e. _V
8		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( g ` x ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
9	8	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( g ` x ) -> ( ( F ` z ) e. _V <-> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) )
10	7, 9	spcv 2646	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
11	10	ralrimivw 2393	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
12		iunexg 5746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom g e. _V /\ A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
13	5, 11, 12	sylancr 393	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
14		unexg 4178	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
15	13, 14	sylan2 270	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ A. z ( F ` z ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
16	15	ancoms 255	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
17	16	ralrimivw 2393	. . . . . 6 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
18		dmmptg 4818	. . . . . 6 |- ( A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
20	3, 19	syl5eleqr 2127	. . . 4 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
21		funfvex 5192	. . . 4 |- ( ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
22	2, 20, 21	sylancr 393	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
23	22, 2	jctil 295	. 2 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
24	1, 23	sylan2 270	1 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   _Vcvv 2557   u. cun 2915   U_ciun 3657   |-> cmpt 3818   dom cdm 4345   Fun wfun 4896   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  rdgifnon2  5967