ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgss Unicode version

Theorem rdgss 5910
Description: Subset and recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rdgss.1  F  Fn  _V
rdgss.2  I  V
rdgss.3  On
rdgss.4  On
rdgss.5  C_
Assertion
Ref Expression
rdgss  rec F ,  I `  C_  rec F ,  I `

Proof of Theorem rdgss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgss.5 . . . 4  C_
2 ssel 2933 . . . . . 6 
C_
3 ssid 2958 . . . . . . 7  F `
 rec F ,  I `  C_  F `  rec F ,  I `
4 fveq2 5121 . . . . . . . . . 10  rec F ,  I `  rec F ,  I `
54fveq2d 5125 . . . . . . . . 9  F `  rec F ,  I `
 F `  rec F ,  I `
65sseq2d 2967 . . . . . . . 8  F `  rec F ,  I ` 
C_  F `  rec F ,  I `  F `  rec F ,  I `  C_  F `  rec F ,  I `
76rspcev 2650 . . . . . . 7  F `  rec F ,  I ` 
C_  F `  rec F ,  I `  F `  rec F ,  I `

C_  F `  rec F ,  I `
83, 7mpan2 401 . . . . . 6  F `  rec F ,  I `

C_  F `  rec F ,  I `
92, 8syl6 29 . . . . 5 
C_  F `  rec F ,  I ` 
C_  F `  rec F ,  I `
109ralrimiv 2385 . . . 4 
C_  F `  rec F ,  I `  C_  F `
 rec F ,  I `
111, 10syl 14 . . 3  F `  rec F ,  I ` 
C_  F `  rec F ,  I `
12 iunss2 3693 . . 3  F `  rec F ,  I `  C_  F `
 rec F ,  I `  U_  F `  rec F ,  I ` 
C_  U_  F `  rec F ,  I `
13 unss2 3108 . . 3  U_  F `  rec F ,  I `

C_  U_  F `  rec F ,  I `  I  u.  U_  F `  rec F ,  I `
 C_  I  u.  U_  F `  rec F ,  I `
1411, 12, 133syl 17 . 2  I  u.  U_  F `  rec F ,  I `
 C_  I  u.  U_  F `  rec F ,  I `
15 rdgss.1 . . 3  F  Fn  _V
16 rdgss.2 . . 3  I  V
17 rdgss.3 . . 3  On
18 rdgival 5909 . . 3  F  Fn  _V  I  V  On  rec F ,  I `  I  u.  U_  F `  rec F ,  I `
1915, 16, 17, 18syl3anc 1134 . 2  rec F ,  I `  I  u.  U_  F `  rec F ,  I `
20 rdgss.4 . . 3  On
21 rdgival 5909 . . 3  F  Fn  _V  I  V  On  rec F ,  I `  I  u.  U_  F `  rec F ,  I `
2215, 16, 20, 21syl3anc 1134 . 2  rec F ,  I `  I  u.  U_  F `  rec F ,  I `
2314, 19, 223sstr4d 2982 1  rec F ,  I `  C_  rec F ,  I `
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551    u. cun 2909    C_ wss 2911   U_ciun 3648   Oncon0 4066    Fn wfn 4840   ` cfv 4845   reccrdg 5896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-recs 5861  df-irdg 5897
This theorem is referenced by:  oawordi  5988
  Copyright terms: Public domain W3C validator