ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgruledefgg Unicode version

Theorem rdgruledefgg 5902
Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
rdgruledefgg  F  Fn  _V  V  Fun  _V  |->  u.  U_ 
dom  F `
 ` 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
 `  _V
Distinct variable groups:   ,   ,, F
Allowed substitution hints:   (,)    F()    V(,,)

Proof of Theorem rdgruledefgg
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . 2  V  _V
2 funmpt 4881 . . . 4  Fun  _V  |->  u.  U_ 
dom  F `
 `
3 vex 2554 . . . . 5 
_V
4 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 
_V
5 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 
_V
64, 5fvex 5138 . . . . . . . . . . . 12  `

_V
7 funfvex 5135 . . . . . . . . . . . . 13  Fun  F  ` 
dom  F  F `  `
 _V
87funfni 4942 . . . . . . . . . . . 12  F  Fn  _V  `  _V  F `  `
 _V
96, 8mpan2 401 . . . . . . . . . . 11  F  Fn  _V  F `  ` 
_V
109ralrimivw 2387 . . . . . . . . . 10  F  Fn  _V  dom  F `  `
 _V
114dmex 4541 . . . . . . . . . . 11  dom  _V
12 iunexg 5688 . . . . . . . . . . 11  dom  _V  dom  F `  `  _V  U_  dom  F `  `  _V
1311, 12mpan 400 . . . . . . . . . 10  dom  F `  `
 _V  U_  dom  F `  `
 _V
1410, 13syl 14 . . . . . . . . 9  F  Fn  _V  U_  dom  F `  `
 _V
15 unexg 4144 . . . . . . . . 9  _V  U_  dom  F `  `
 _V  u.  U_  dom  F `
 ` 
_V
1614, 15sylan2 270 . . . . . . . 8  _V  F  Fn  _V  u.  U_  dom  F `  `
 _V
1716ancoms 255 . . . . . . 7  F  Fn  _V  _V  u.  U_  dom  F `  `
 _V
1817ralrimivw 2387 . . . . . 6  F  Fn  _V  _V  _V  u.  U_  dom  F `
 ` 
_V
19 dmmptg 4761 . . . . . 6  _V  u.  U_ 
dom  F `
 ` 
_V  dom  _V  |->  u.  U_ 
dom  F `
 `  _V
2018, 19syl 14 . . . . 5  F  Fn  _V  _V  dom 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
 _V
213, 20syl5eleqr 2124 . . . 4  F  Fn  _V  _V  dom  _V  |->  u.  U_ 
dom  F `
 `
22 funfvex 5135 . . . 4  Fun 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
 dom 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
 _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `

_V
232, 21, 22sylancr 393 . . 3  F  Fn  _V  _V 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
 `  _V
2423, 2jctil 295 . 2  F  Fn  _V  _V  Fun  _V  |->  u.  U_ 
dom  F `
 ` 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
 `  _V
251, 24sylan2 270 1  F  Fn  _V  V  Fun  _V  |->  u.  U_ 
dom  F `
 ` 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
 `  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   _Vcvv 2551    u. cun 2909   U_ciun 3648    |-> cmpt 3809   dom cdm 4288   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  rdgruledefg  5903  rdgexggg  5904  rdgifnon  5906  rdgivallem  5908
  Copyright terms: Public domain W3C validator