ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgifnon2 Unicode version

Theorem rdgifnon2 5967
Description: The recursive definition generator is a function on ordinal numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
rdgifnon2  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  rec ( F ,  A )  Fn  On )
Distinct variable group:    z, F
Allowed substitution hints:    A( z)    V( z)

Proof of Theorem rdgifnon2
Dummy variables  f  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 5957 . 2  |-  rec ( F ,  A )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
2 rdgtfr 5961 . . 3  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V ) )
32alrimiv 1754 . 2  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  A. f
( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) )  /\  ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  f )  e.  _V ) )
41, 3tfri1d 5949 1  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  rec ( F ,  A )  Fn  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97   A.wal 1241    e. wcel 1393   _Vcvv 2557    u. cun 2915   U_ciun 3657    |-> cmpt 3818   Oncon0 4100   dom cdm 4345   Fun wfun 4896    Fn wfn 4897   ` cfv 4902   reccrdg 5956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-recs 5920  df-irdg 5957
This theorem is referenced by:  frecrdg  5992
  Copyright terms: Public domain W3C validator