Theorem ralm 3325

Description: Inhabited classes and restricted quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ralm	|- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> A. x e. A ph )

Proof of Theorem ralm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2311	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
2	1	imbi2i 215	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> ( E. x x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) )
3		19.38 1566	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) -> A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) )
4	2, 3	sylbi 114	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) )
5		pm2.43 47	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) -> ( x e. A -> ph ) )
6	5	alimi 1344	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ph ) ) -> A. x ( x e. A -> ph ) )
7	4, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x ( x e. A -> ph ) )
8	7, 1	sylibr 137	. 2 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) -> A. x e. A ph )
9		ax-1 5	. 2 |- ( A. x e. A ph -> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
10	8, 9	impbii 117	1 |- ( ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) <-> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   A.wal 1241   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-4 1400  ax-ial 1427  ax-i5r 1428

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-ral 2311

This theorem is referenced by:  raaan  3327