Theorem r19.2uz 9591

Description: A version of r19.2m 3309 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
r19.2uz	|- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   M( k)

Proof of Theorem r19.2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 8482	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
2		uzid 8487	. . . . . 6 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
3		elex2 2570	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . . 5 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
5		rexuz3.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6	4, 5	eleq2s 2132	. . . 4 |- ( j e. Z -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
7		r19.2m 3309	. . . 4 |- ( ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
8	6, 7	sylan 267	. . 3 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
9	5	uztrn2 8490	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
10	9	ex 108	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. Z ) )
11	10	anim1d 319	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ ph ) -> ( k e. Z /\ ph ) ) )
12	11	reximdv2 2418	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph ) )
13	12	imp 115	. . 3 |- ( ( j e. Z /\ E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. Z ph )
14	8, 13	syldan 266	. 2 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. Z ph )
15	14	rexlimiva 2428	1 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   ` cfv 4902   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-ov 5515  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-neg 7185  df-z 8246  df-uz 8474

This theorem is referenced by:  recvguniq  9593  climge0  9845