ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmuloc Unicode version

Theorem prmuloc 6547
Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  d  Q. 
Q.  d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
Distinct variable groups:   , d,   , d,    L, d,    U, d,

Proof of Theorem prmuloc
Dummy variables  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 6392 . . 3 
<Q  Q.  +Q
21adantl 262 . 2 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q
3 prml 6460 . . . 4  <. L ,  U >.  P.  r  Q.  r  L
43ad2antrr 457 . . 3  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L
5 simprl 483 . . . . . 6  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  r  Q.
6 simplrl 487 . . . . . 6  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  Q.
7 mulclnq 6360 . . . . . 6  r  Q.  Q.  r  .Q  Q.
85, 6, 7syl2anc 391 . . . . 5  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  r  .Q  Q.
9 ltrelnq 6349 . . . . . . . 8  <Q  C_  Q.  X.  Q.
109brel 4335 . . . . . . 7 
<Q  Q.  Q.
1110simprd 107 . . . . . 6 
<Q  Q.
1211ad3antlr 462 . . . . 5  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  Q.
13 appdiv0nq 6545 . . . . 5  r  .Q  Q.  Q.  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q
148, 12, 13syl2anc 391 . . . 4  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q
15 prarloc 6486 . . . . . . . . . 10 
<. L ,  U >. 
P.  p  Q.  d  L  U  <Q  d  +Q  p
1615adantlr 446 . . . . . . . . 9  <. L ,  U >.  P.  <Q  p  Q.  d  L  U  <Q  d  +Q  p
1716adantlr 446 . . . . . . . 8  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  p  Q.  d  L  U  <Q 
d  +Q  p
1817ad2ant2r 478 . . . . . . 7  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q  d  +Q  p
19 r2ex 2338 . . . . . . 7  d  L  U  <Q  d  +Q  p  d d  L  U  <Q 
d  +Q  p
2018, 19sylib 127 . . . . . 6  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d d  L  U  <Q 
d  +Q  p
21 elprnql 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 
<. L ,  U >. 
P.  d  L  d  Q.
2221adantlr 446 . . . . . . . . . . . . 13  <. L ,  U >.  P.  <Q  d  L  d  Q.
2322adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  d  L  d  Q.
2423adantlr 446 . . . . . . . . . . 11  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  d  L  d  Q.
2524ad2ant2r 478 . . . . . . . . . 10 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q 
d  L  U  d  Q.
2625adantrr 448 . . . . . . . . 9 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  d  Q.
27 simplll 485 . . . . . . . . . . 11  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  <. L ,  U >. 
P.
2827ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  <. L ,  U >.  P.
29 simprl 483 . . . . . . . . . . 11 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p 
d  L  U
3029simprd 107 . . . . . . . . . 10 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  U
31 elprnqu 6465 . . . . . . . . . 10 
<. L ,  U >. 
P.  U  Q.
3228, 30, 31syl2anc 391 . . . . . . . . 9 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  Q.
33 prltlu 6470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
<. L ,  U >. 
P.  r  L  U  r  <Q
34333adant1r 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. L ,  U >.  P.  <Q  r  L  U  r  <Q
35343adant2l 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. L ,  U >.  P.  <Q 
r  Q.  r  L  U  r  <Q
36353adant3l 1130 . . . . . . . . . . . . . 14  <. L ,  U >.  P.  <Q 
r  Q.  r  L  d  L  U  r  <Q
37363adant1r 1127 . . . . . . . . . . . . 13  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L 
d  L  U  r  <Q
38373expa 1103 . . . . . . . . . . . 12  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  d  L  U  r  <Q
3938ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . 11 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  r  <Q
40 simprr 484 . . . . . . . . . . 11 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  <Q  d  +Q  p
41 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  +Q
4241ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  +Q
43 simplrr 488 . . . . . . . . . . 11 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  p  .Q  <Q  r  .Q
4410simpld 105 . . . . . . . . . . . . 13 
<Q  Q.
4544ad3antlr 462 . . . . . . . . . . . 12  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  Q.
4645ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  Q.
4712ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  Q.
48 simplrl 487 . . . . . . . . . . 11 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  p  Q.
496ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  Q.
5039, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49prmuloclemcalc 6546 . . . . . . . . . 10 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  .Q  <Q  d  .Q
51 df-3an 886 . . . . . . . . . 10  d  L  U  .Q  <Q  d  .Q  d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
5229, 50, 51sylanbrc 394 . . . . . . . . 9 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p 
d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
5326, 32, 52jca31 292 . . . . . . . 8 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  Q.  +Q  r  Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q 
d  +Q  p  d  Q.  Q.  d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
5453ex 108 . . . . . . 7  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  L  U  <Q  d  +Q  p  d  Q.  Q.  d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
55542eximdv 1759 . . . . . 6  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d d  L  U  <Q  d  +Q  p  d d  Q.  Q. 
d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
5620, 55mpd 13 . . . . 5  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d d  Q.  Q.  d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
57 r2ex 2338 . . . . 5  d  Q.  Q.  d  L  U  .Q  <Q  d  .Q  d d  Q.  Q. 
d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
5856, 57sylibr 137 . . . 4  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  p  Q.  p  .Q  <Q  r  .Q  d  Q.  Q. 
d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
5914, 58rexlimddv 2431 . . 3  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  r 
Q.  r  L  d  Q.  Q. 
d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
604, 59rexlimddv 2431 . 2  <. L ,  U >.  P.  <Q  Q.  +Q  d  Q.  Q. 
d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
612, 60rexlimddv 2431 1 
<. L ,  U >. 
P.  <Q  d  Q. 
Q.  d  L  U  .Q  <Q  d  .Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301   <.cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    .Q cmq 6267    <Q cltq 6269   P.cnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449
This theorem is referenced by:  prmuloc2  6548  mullocpr  6552
  Copyright terms: Public domain W3C validator