ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  poirr2 Structured version   Unicode version

Theorem poirr2 4660
Description: A partial order relation is irreflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
poirr2  R  Po  R  i^i  _I  |`  (/)

Proof of Theorem poirr2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 4582 . . . 4  Rel  _I  |`
2 relin2 4399 . . . 4  Rel  _I  |`  Rel  R  i^i  _I  |`
31, 2mp1i 10 . . 3  R  Po  Rel  R  i^i  _I  |`
4 df-br 3756 . . . . 5  R  i^i  _I  |`  <. , 
>.  R  i^i  _I  |`
5 brin 3802 . . . . 5  R  i^i  _I  |`  R  _I  |`
64, 5bitr3i 175 . . . 4  <. ,  >.  R  i^i  _I  |`  R  _I  |`
7 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
87brres 4561 . . . . . . . 8  _I  |`  _I
9 poirr 4035 . . . . . . . . . . 11  R  Po  R
107ideq 4431 . . . . . . . . . . . . 13  _I
11 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13  R  R
1210, 11sylbi 114 . . . . . . . . . . . 12  _I  R  R
1312notbid 591 . . . . . . . . . . 11  _I  R  R
149, 13syl5ibcom 144 . . . . . . . . . 10  R  Po  _I  R
1514expimpd 345 . . . . . . . . 9  R  Po  _I  R
1615ancomsd 256 . . . . . . . 8  R  Po  _I  R
178, 16syl5bi 141 . . . . . . 7  R  Po  _I  |`  R
1817con2d 554 . . . . . 6  R  Po  R  _I  |`
19 imnan 623 . . . . . 6  R  _I  |`  R  _I  |`
2018, 19sylib 127 . . . . 5  R  Po  R  _I  |`
2120pm2.21d 549 . . . 4  R  Po  R  _I  |`  <. ,  >.  (/)
226, 21syl5bi 141 . . 3  R  Po  <. ,  >.  R  i^i  _I  |`  <. , 
>.  (/)
233, 22relssdv 4375 . 2  R  Po  R  i^i  _I  |`  C_  (/)
24 ss0 3251 . 2  R  i^i  _I  |`  C_  (/)  R  i^i  _I  |`  (/)
2523, 24syl 14 1  R  Po  R  i^i  _I  |`  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390    i^i cin 2910    C_ wss 2911   (/)c0 3218   <.cop 3370   class class class wbr 3755    _I cid 4016    Po wpo 4022    |` cres 4290   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-xp 4294  df-rel 4295  df-res 4300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator