Theorem peano5setOLD 9400

Description: Obsolete version of peano5set 9399 as of 26-Oct-2020. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5setOLD	|- (( om i^i A) e. V -> (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> om C_ A))

Distinct variable group:   x,A

Allowed substitution hint:   V(x)

Proof of Theorem peano5setOLD

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-dfom 9392	. . . 4 |- om = |^| {y | Ind y }
2		peano1 4260	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. om
3		elin 3120	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. ( om i^i A) <-> ( (/) e. om /\ (/) e. A))
4	2, 3	mpbiran 846	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. ( om i^i A) <-> (/) e. A)
5	4	biimpri 124	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. A -> (/) e. ( om i^i A))
6		bj-peano2 9398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. om -> suc x e. om)
7	6	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. om /\ x e. A) -> suc x e. om)
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. om -> (x e. A -> suc x e. A)) -> ((x e. om /\ x e. A) -> suc x e. om))
9		pm3.31 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. om -> (x e. A -> suc x e. A)) -> ((x e. om /\ x e. A) -> suc x e. A))
10	8, 9	jcad 291	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. om -> (x e. A -> suc x e. A)) -> ((x e. om /\ x e. A) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A)))
11	10	alimi 1341	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x(x e. om -> (x e. A -> suc x e. A)) -> A.x((x e. om /\ x e. A) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A)))
12		df-ral 2305	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. om (x e. A -> suc x e. A) <-> A.x(x e. om -> (x e. A -> suc x e. A)))
13		elin 3120	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ( om i^i A) <-> (x e. om /\ x e. A))
14		elin 3120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc x e. ( om i^i A) <-> ( suc x e. om /\ suc x e. A))
15	13, 14	imbi12i 228	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ( om i^i A) -> suc x e. ( om i^i A)) <-> ((x e. om /\ x e. A) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A)))
16	15	albii 1356	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x(x e. ( om i^i A) -> suc x e. ( om i^i A)) <-> A.x((x e. om /\ x e. A) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A)))
17	11, 12, 16	3imtr4i 190	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. om (x e. A -> suc x e. A) -> A.x(x e. ( om i^i A) -> suc x e. ( om i^i A)))
18		df-ral 2305	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. ( om i^i A) suc x e. ( om i^i A) <-> A.x(x e. ( om i^i A) -> suc x e. ( om i^i A)))
19	17, 18	sylibr 137	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. om (x e. A -> suc x e. A) -> A.x e. ( om i^i A) suc x e. ( om i^i A))
20	5, 19	anim12i 321	. . . . . . . 8 |- (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> ( (/) e. ( om i^i A) /\ A.x e. ( om i^i A) suc x e. ( om i^i A)))
21		df-bj-ind 9386	. . . . . . . 8 |- (Ind ( om i^i A) <-> ( (/) e. ( om i^i A) /\ A.x e. ( om i^i A) suc x e. ( om i^i A)))
22	20, 21	sylibr 137	. . . . . . 7 |- (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> Ind ( om i^i A))
23		bj-indeq 9388	. . . . . . . 8 |- (y = ( om i^i A) -> (Ind y <-> Ind ( om i^i A)))
24	23	elabg 2682	. . . . . . 7 |- (( om i^i A) e. V -> (( om i^i A) e. {y | Ind y } <-> Ind ( om i^i A)))
25	22, 24	syl5ibr 145	. . . . . 6 |- (( om i^i A) e. V -> (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> ( om i^i A) e. {y | Ind y }))
26	25	imp 115	. . . . 5 |- ((( om i^i A) e. V /\ ( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A))) -> ( om i^i A) e. {y | Ind y })
27		intss1 3621	. . . . 5 |- (( om i^i A) e. {y | Ind y } -> |^| {y | Ind y } C_ ( om i^i A))
28	26, 27	syl 14	. . . 4 |- ((( om i^i A) e. V /\ ( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A))) -> |^| {y | Ind y } C_ ( om i^i A))
29	1, 28	syl5eqss 2983	. . 3 |- ((( om i^i A) e. V /\ ( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A))) -> om C_ ( om i^i A))
30		inss2 3152	. . 3 |- ( om i^i A) C_ A
31	29, 30	syl6ss 2951	. 2 |- ((( om i^i A) e. V /\ ( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A))) -> om C_ A)
32	31	ex 108	1 |- (( om i^i A) e. V -> (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> om C_ A))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97  A.wal 1240   e. wcel 1390   {cab 2023  A.wral 2300   i^i cin 2910   C_ wss 2911   (/)c0 3218   |^|cint 3606   suc csuc 4068   omcom 4256  Ind wind 9385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-bd0 9268  ax-bdor 9271  ax-bdex 9274  ax-bdeq 9275  ax-bdel 9276  ax-bdsb 9277  ax-bdsep 9339

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257  df-bdc 9296  df-bj-ind 9386

This theorem is referenced by: (None)