Theorem peano5setOLD 10065

Description: Obsolete version of peano5set 10064 as of 26-Oct-2020. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5setOLD	|- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem peano5setOLD

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-dfom 10057	. . . 4 |- om = |^| { y | Ind y }
2		peano1 4317	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. om
3		elin 3126	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. ( om i^i A ) <-> ( (/) e. om /\ (/) e. A ) )
4	2, 3	mpbiran 847	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. ( om i^i A ) <-> (/) e. A )
5	4	biimpri 124	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. A -> (/) e. ( om i^i A ) )
6		bj-peano2 10063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	6	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. om )
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. om ) )
9		pm3.31 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. A ) )
10	8, 9	jcad 291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
11	10	alimi 1344	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> A. x ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
12		df-ral 2311	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) <-> A. x ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
13		elin 3126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( om i^i A ) <-> ( x e. om /\ x e. A ) )
14		elin 3126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc x e. ( om i^i A ) <-> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) )
15	13, 14	imbi12i 228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) <-> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
16	15	albii 1359	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) <-> A. x ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
17	11, 12, 16	3imtr4i 190	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) )
18		df-ral 2311	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) <-> A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) )
19	17, 18	sylibr 137	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) )
20	5, 19	anim12i 321	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
21		df-bj-ind 10051	. . . . . . . 8 |- (Ind ( om i^i A ) <-> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
22	20, 21	sylibr 137	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
23		bj-indeq 10053	. . . . . . . 8 |- ( y = ( om i^i A ) -> (Ind y <-> Ind ( om i^i A ) ) )
24	23	elabg 2688	. . . . . . 7 |- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( om i^i A ) e. { y | Ind y } <-> Ind ( om i^i A ) ) )
25	22, 24	syl5ibr 145	. . . . . 6 |- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( om i^i A ) e. { y | Ind y } ) )
26	25	imp 115	. . . . 5 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> ( om i^i A ) e. { y | Ind y } )
27		intss1 3630	. . . . 5 |- ( ( om i^i A ) e. { y | Ind y } -> |^| { y | Ind y } C_ ( om i^i A ) )
28	26, 27	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> |^| { y | Ind y } C_ ( om i^i A ) )
29	1, 28	syl5eqss 2989	. . 3 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
30		inss2 3158	. . 3 |- ( om i^i A ) C_ A
31	29, 30	syl6ss 2957	. 2 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ A )
32	31	ex 108	1 |- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   i^i cin 2916   C_ wss 2917   (/)c0 3224   |^|cint 3615   suc csuc 4102   omcom 4313  Ind wind 10050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-nul 3883  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-bd0 9933  ax-bdor 9936  ax-bdex 9939  ax-bdeq 9940  ax-bdel 9941  ax-bdsb 9942  ax-bdsep 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-suc 4108  df-iom 4314  df-bdc 9961  df-bj-ind 10051

This theorem is referenced by: (None)