ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovmpt2dxf Structured version   Unicode version

Theorem ovmpt2dxf 5568
Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt2dx.1  F  C ,  D  |->  R
ovmpt2dx.2 
R  S
ovmpt2dx.3  D  L
ovmpt2dx.4  C
ovmpt2dx.5  L
ovmpt2dx.6  S  X
ovmpt2dxf.px  F/
ovmpt2dxf.py  F/
ovmpt2dxf.ay  F/_
ovmpt2dxf.bx  F/_
ovmpt2dxf.sx  F/_ S
ovmpt2dxf.sy  F/_ S
Assertion
Ref Expression
ovmpt2dxf  F  S
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()    C(,)    D(,)    R(,)    S(,)    F(,)    L(,)    X(,)

Proof of Theorem ovmpt2dxf
StepHypRef Expression
1 ovmpt2dx.1 . . 3  F  C ,  D  |->  R
21oveqd 5472 . 2  F  C ,  D  |->  R
3 ovmpt2dx.4 . . . 4  C
4 ovmpt2dxf.px . . . . 5  F/
5 ovmpt2dx.5 . . . . . 6  L
6 ovmpt2dxf.py . . . . . . 7  F/
7 eqid 2037 . . . . . . . . 9  C ,  D  |->  R  C ,  D  |->  R
87ovmpt4g 5565 . . . . . . . 8  C  D  R  _V  C ,  D  |->  R  R
98a1i 9 . . . . . . 7  C  D  R 
_V  C ,  D  |->  R  R
106, 9alrimi 1412 . . . . . 6  C  D  R  _V  C ,  D  |->  R  R
115, 10spsbcd 2770 . . . . 5  [.  ].  C  D  R 
_V  C ,  D  |->  R  R
124, 11alrimi 1412 . . . 4  [.  ].  C  D  R  _V  C ,  D  |->  R  R
133, 12spsbcd 2770 . . 3  [.  ].
[.  ].  C  D  R 
_V  C ,  D  |->  R  R
145adantr 261 . . . . 5  L
15 simplr 482 . . . . . . . 8
163ad2antrr 457 . . . . . . . 8  C
1715, 16eqeltrd 2111 . . . . . . 7  C
185ad2antrr 457 . . . . . . . 8  L
19 simpr 103 . . . . . . . 8
20 ovmpt2dx.3 . . . . . . . . 9  D  L
2120adantr 261 . . . . . . . 8  D  L
2218, 19, 213eltr4d 2118 . . . . . . 7  D
23 ovmpt2dx.2 . . . . . . . . 9 
R  S
2423anassrs 380 . . . . . . . 8  R  S
25 ovmpt2dx.6 . . . . . . . . . 10  S  X
26 elex 2560 . . . . . . . . . 10  S  X  S  _V
2725, 26syl 14 . . . . . . . . 9  S  _V
2827ad2antrr 457 . . . . . . . 8  S  _V
2924, 28eqeltrd 2111 . . . . . . 7  R  _V
30 biimt 230 . . . . . . 7  C  D  R  _V  C ,  D  |->  R  R  C  D  R 
_V  C ,  D  |->  R  R
3117, 22, 29, 30syl3anc 1134 . . . . . 6  C ,  D  |->  R  R  C  D  R  _V  C ,  D  |->  R  R
3215, 19oveq12d 5473 . . . . . . 7  C ,  D  |->  R  C ,  D  |->  R
3332, 24eqeq12d 2051 . . . . . 6  C ,  D  |->  R  R  C ,  D  |->  R  S
3431, 33bitr3d 179 . . . . 5  C  D  R  _V  C ,  D  |->  R  R  C ,  D  |->  R  S
35 ovmpt2dxf.ay . . . . . . 7  F/_
3635nfeq2 2186 . . . . . 6  F/
376, 36nfan 1454 . . . . 5  F/
38 nfmpt22 5514 . . . . . . . 8  F/_  C ,  D  |->  R
39 nfcv 2175 . . . . . . . 8  F/_
4035, 38, 39nfov 5478 . . . . . . 7  F/_  C ,  D  |->  R
41 ovmpt2dxf.sy . . . . . . 7  F/_ S
4240, 41nfeq 2182 . . . . . 6  F/  C ,  D  |->  R  S
4342a1i 9 . . . . 5  F/  C ,  D  |->  R  S
4414, 34, 37, 43sbciedf 2792 . . . 4  [.  ].  C  D  R  _V  C ,  D  |->  R  R  C ,  D  |->  R  S
45 nfcv 2175 . . . . . . 7  F/_
46 nfmpt21 5513 . . . . . . 7  F/_  C ,  D  |->  R
47 ovmpt2dxf.bx . . . . . . 7  F/_
4845, 46, 47nfov 5478 . . . . . 6  F/_  C ,  D  |->  R
49 ovmpt2dxf.sx . . . . . 6  F/_ S
5048, 49nfeq 2182 . . . . 5  F/  C ,  D  |->  R  S
5150a1i 9 . . . 4  F/  C ,  D  |->  R  S
523, 44, 4, 51sbciedf 2792 . . 3  [.  ]. [.  ].  C  D  R 
_V  C ,  D  |->  R  R  C ,  D  |->  R  S
5313, 52mpbid 135 . 2  C ,  D  |->  R  S
542, 53eqtrd 2069 1  F  S
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   F/wnf 1346   wcel 1390   F/_wnfc 2162   _Vcvv 2551   [.wsbc 2758  (class class class)co 5455    |-> cmpt2 5457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460
This theorem is referenced by:  ovmpt2dx  5569  mpt2xopoveq  5796
  Copyright terms: Public domain W3C validator