Theorem ordwe 4300

Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordwe	|- ( Ord A -> _E We A )

Proof of Theorem ordwe

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 4299	. 2 |- ( Ord A -> _E Fr A )
2		ordelord 4118	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ z e. A ) -> Ord z )
3	2	3ad2antr3 1071	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> Ord z )
4		ordtr1 4125	. . . . 5 |- ( Ord z -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
5		epel 4029	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
6		epel 4029	. . . . . 6 |- ( y _E z <-> y e. z )
7	5, 6	anbi12i 433	. . . . 5 |- ( ( x _E y /\ y _E z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) )
8		epel 4029	. . . . 5 |- ( x _E z <-> x e. z )
9	4, 7, 8	3imtr4g 194	. . . 4 |- ( Ord z -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
10	3, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
11	10	ralrimivvva 2402	. 2 |- ( Ord A -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
12		df-wetr 4071	. 2 |- ( _E We A <-> ( _E Fr A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
13	1, 11, 12	sylanbrc 394	1 |- ( Ord A -> _E We A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   e. wcel 1393   A.wral 2306   class class class wbr 3764   _E cep 4024   Fr wfr 4065   We wwe 4067   Ord word 4099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-frfor 4068  df-frind 4069  df-wetr 4071  df-iord 4103

This theorem is referenced by:  nnwetri  6354