Theorem ordom 4329

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4328	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1339	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 3856	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 134	. 2 |- Tr om
5		treq 3860	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 3860	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 3860	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 3865	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4158	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4323	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2374	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4104	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 849	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   e. wcel 1393   A.wral 2306   (/)c0 3224   Tr wtr 3854   Ord word 4099   suc csuc 4102   omcom 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-tr 3855  df-iord 4103  df-suc 4108  df-iom 4314

This theorem is referenced by:  omelon2  4330  limom  4336