Theorem oprab2co 5839

Description: Composition of operator abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by David Abernethy, 23-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprab2co.1	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> C e. R )
oprab2co.2	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> D e. S )
oprab2co.3	|- F = ( x e. A , y e. B |-> <. C , D >. )
oprab2co.4	|- G = ( x e. A , y e. B |-> ( C M D ) )

Assertion

Ref	Expression
oprab2co	|- ( M Fn ( R X. S ) -> G = ( M o. F ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, M, y   x, R, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   D( x, y)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem oprab2co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprab2co.1	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> C e. R )
2		oprab2co.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> D e. S )
3		opelxpi 4376	. . 3 |- ( ( C e. R /\ D e. S ) -> <. C , D >. e. ( R X. S ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 391	. 2 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> <. C , D >. e. ( R X. S ) )
5		oprab2co.3	. 2 |- F = ( x e. A , y e. B |-> <. C , D >. )
6		oprab2co.4	. . 3 |- G = ( x e. A , y e. B |-> ( C M D ) )
7		df-ov 5515	. . . . 5 |- ( C M D ) = ( M ` <. C , D >. )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( C M D ) = ( M ` <. C , D >. ) )
9	8	mpt2eq3ia 5570	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> ( C M D ) ) = ( x e. A , y e. B |-> ( M ` <. C , D >. ) )
10	6, 9	eqtri 2060	. 2 |- G = ( x e. A , y e. B |-> ( M ` <. C , D >. ) )
11	4, 5, 10	oprabco 5838	1 |- ( M Fn ( R X. S ) -> G = ( M o. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   X. cxp 4343   o. ccom 4349   Fn wfn 4897   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   |-> cmpt2 5514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768

This theorem is referenced by: (None)